Question

Studiati convergenta urmatoarelor siruri si, daca e posibil, determinati limita in fiecare caz, punctele c si d daca puteti trimite rezolvarea va rog.

Answer 1

Răspuns:

c) Aducând la același numitor în fiecare paranteză se obține

$a_n=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{1}{n}$

$a_n-a_{n+1}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)} > 0$

deci șirul este descrescător. Este și mărginit inferior de 0, deci este convergent.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

d) La fel se aduce la același numitor in fiecare paranteză și se descompun diferențele de pătrate.

$a_n=\dfrac{1\cdot 2}{2^2}\cdot\dfrac{2\cdot 3}{3^2}\cdot\dfrac{3\cdot 5}{4^2}\cdot\ldots\cdot\dfrac{(n-2)n}{(n-1)^2}\cdot\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n+1}{2n}$

La fel șirul este strict descrescător și mărginit inferior de 0

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{1}{2}$

Explicație pas cu pas: