Question

subiectul 2 exerciţiul 1 b) şi c)

Answer 1

Subiectul 2  ex 1 , b)

Answer 2

[tex]\displaystyle 1).A= \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B= \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right) \\ a).det~B=? \\ det~B= \left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right|= \\ =0 \cdot 1 \cdot 0+1 \cdot 0 \cdot 0+0 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 1-0 \cdot 0 \cdot 0-0 \cdot 0 \cdot 0= \\ =0+0+0-1-0-0=-1[/tex]

[tex]\displaystyle b).AB=BA \\ AB=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right) = \\ = \left(\begin{array}{ccc}0 \cdot 0+1 \cdot 0+0 \cdot 1&0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0&0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0\\1 \cdot 0+0 \cdot 0+1 \cdot 1&1 \cdot0+0 \cdot1+1 \cdot 0&1 \cdot 1+0 \cdot 0+1 \cdot 0\\0 \cdot 0+1 \cdot 0+0 \cdot 1&0 \cdot 0+1 \cdot 1+0 \cdot 0&0 \cdot 1+1 \cdot 0+0 \cdot 0\end{array}\right)= [/tex]

[tex]\displaystyle = \left(\begin{array}{ccc}0+0+0&0+1+0&0+0+0\\0+0+1&0+0+0&1+0+0\\0+0+0&0+1+0&0+0+0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right)[/tex][tex]\displaystyle BA=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right)= \\ = \left(\begin{array}{ccc}0 \cdot 0+0 \cdot 1+1 \cdot 0&0 \cdot 1+0 \cdot0+1 \cdot 1&0 \cdot 0+0 \cdot 1+1 \cdot 0\\0 \cdot 0+1 \cdot 1+0 \cdot 0&0 \cdot 1+1 \cdot 0+0 \cdot 1&0 \cdot 0+1 \cdot 1+0 \cdot 0\\1 \cdot 0+0 \cdot 1+0 \cdot 0&1 \cdot 1+0 \cdot 0+0 \cdot 1&1 \cdot 0+0 \cdot 1+0 \cdot 0\end{array}\right)=[/tex]

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0+0+0&0+0+1&0+0+0\\0+1+0&0+0+0&0+1+0\\0+0+0&1+0+0&0+0+0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right) \Rightarrow AB=BA[/tex]

[tex]\displaystyle c).det(B+xA)=1 \\ xA=x \cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{array}\right) \\ B+xA= \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&x&1\\x&1&x\\1&x&0\end{array}\right)[/tex]

[tex]\displaystyle det(B+xA)= \left|\begin{array}{ccc}0&x&1\\x&1&x\\1&x&0\end{array}\right|= \\ =0 \cdot 1 \cdot 0+1 \cdot x \cdot x+x \cdot x \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 1-x \cdot x \cdot 0-0 \cdot x \cdot x= \\ =0+x^2+x^2-1-0-0=2x^2-1 \\ det(B+xA)=1 \Rightarrow 2x^2-1=1 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x^2=1+1 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x^2=2 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^2=1 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=1,~x=-1[/tex]