Question

Subiectul al doilea (simulare bacalaureat 2022 M2 matematică) exercițiul 1 punctul c).​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$B(x) = xI_{2} + iA$

$B(x) = x\left(\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right) + i\left(\begin{array}{ccc}0&1\\ - 1&0\end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{ccc}x&0\\0&x\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0&i\\ - i&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}x&i\\ - i&x\end{array}\right)$

$B(m,n) = B(m) + iB(n) \\= \left(\begin{array}{ccc}m&i\\ - i&m\end{array}\right) + i\left(\begin{array}{ccc}n&i\\ - i&n\end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{ccc}m&i\\ - i&m\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}ni& {i}^{2} \\- {i}^{2} &ni\end{array}\right)\\ = \left(\begin{array}{ccc}m&i\\ - i&m\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}ni&- 1\\1&ni\end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{ccc}m + ni&i - 1\\ - i + 1&m + ni\end{array}\right)$

$det(B(m,n)) = \left|\begin{array}{ccc}m + ni&i - 1\\ - (i - 1)&m + ni\end{array}\right| \\ = {(m + ni)}^{2} + {(i - 1)}^{2} \\ = {m}^{2} + 2mni + {n}^{2}{i}^{2} + {i}^{2} - 2i + 1 \\ = {m}^{2} + 2mni - {n}^{2} - 1 - 2i + 1 \\ = {m}^{2} - {n}^{2} + 2mni - 2i\\ = {m}^{2} - {n}^{2} + 2(mn - 1)i$

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă ea este o matrice nesingulară.

Altfel spus, matricea A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0

condiția pentru ca matricea să NU fie inversabilă:

=> det(B(m,n)) = 0

${m}^{2} - {n}^{2} + 2(mn - 1)i = 0$

$\left \{ {{{m}^{2} - {n}^{2} = 0} \atop {mn - 1 = 0}} \right. < = > \left \{ {{{m}^{2} = {n}^{2}} \atop {mn = 1}} \right.$

$m,n \in \mathbb {Z}$

I.

$\left \{ {{m = n} \atop { {m}^{2} = 1}} \right. = > \left \{ {{n = - 1} \atop {m = - 1}} \right.$

II.

$\left \{ {{m = n} \atop { {m}^{2} = 1}} \right. = > \left \{ {{n = 1} \atop {m = 1}} \right.$