Question

subiectul ||| ex1 se considera functia

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Punctul a)

$\lim_{x \to \infty} f(x)=  \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x-x}=$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x(1-\frac{x}{e^x})}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{e^x}}{1-\frac{x}{e^x}}=$$\frac{\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}}{\lim_{x \to \infty} 1-\frac{x}{e^x}}=\frac{0}{1-0}=0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=  \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x-x}=Aplicam~l'Hopital=$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x'}{(e^x-x)'}=\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^x-1}$$=\frac{\lim_{x \to -\infty} 1}{\lim_{x \to -\infty} (e^x-1)}=\frac{1}{-1}=-1$

Punctul b)

Observam ca limita prezenta in imagine este, de fapt, definitia derivatei functiei f in 1: f'(1).

Calculam f'(x).

$f'(x)=\frac{x'*(e^x-x)-x*(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}=$$\frac{e^x-x-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=$$\frac{e^x-x-xe^x+x}{(e^x-x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$

Atunci, f'(1) va fi:

$f'(1)=\frac{(1-1)e^1}{(e^1-1)^2}=0$

Punctul c)

Rezolvam ecuatia f'(x)=0 pentru a gasi punctele critice.

f'(x)=0

O fractie este 0 cand numaratorul este 0 si avem:

$e^x(1-x)=0$

$e^x=0~(fals)$

$1-x=0=>x=1$

Facem tabelul de semn:

x |-inf___________1_______________inf

f' |+++++++++++++++0--------------------------------

f |__crescatoare__f(1)__descrescatoare__

Deci, conform tabelului avem ca:

• f este crescatoare pe (-inf,1)
• f este descrescatoare pe (1,inf)