Question

Suma a doua numere este 47, iar suma rasturnatelor lor este 173. Determinati cele doua numere.
Va roog!!!

Answer 1

$Daca~unul~din~numere~ar~fi~alcatuit~din~3~sau~mai~multe~cifre,\\ atunci~ suma~lor~ar~fi~un~numar~alcatuit~din~cel~putin~3~cifre, \\ contradictie.$

$Daca~ambele~numere~ar~fi~alcatuite~dintr-o~singura~cifra, \\ atunci,~niciuna~din~conditii~nu~poate~fi~indeplinita~(suma~maxima \\ ar~fi~18).$

$Asadar,~ramand~doua~cazuri: \\ I.~Ambele~numere~sunt~alcatuite~din~2~cifre. \\ II.~Un~numar~are~2~cifre,~iar~celalalt~doar~una.$

$I.~~~\overline{ab}+\overline{cd}=47 \\ ~~~~~~ \overline{ba}+ \overline{dc}=173. \\ \\ 10a+b+10c+d=47 \\ 10b+a+10d+c=173~~~~~(adunam~relatiile) \\ ------------ \\ 11a+11b+11c+11d=220 \\ 11(a+b+c+d)=220 \Rightarrow a+b+c+d=20. \\ \\ 10a+b+10c+d=47 \Leftrightarrow 9a+9c+(a+b+c+d)=47 \Leftrightarrow \\ 9a+9c+20=47 \Leftrightarrow 9(a+c)=27 \Rightarrow a+c=3 \Rightarrow~a=1~si~c=2~sau \\ a=2~si~c=1.$

$i)~a=1~si~c=2~\Rightarrow~10+b+20+d=47 \Rightarrow b+d=17 \Rightarrow \\ (b,d) \in \{(8;9);(9;8)\}. \\ \\ ii)~a=2~si~c=1~\Rightarrow~20+b+10+d=47 \Rightarrow b+d=17 \Rightarrow \\ (b,d) \in \{(8;9);(9;8)\}.$

$II.~~~ x+\overline{yz}=47 \\ ~~~~~~~x+ \overline{zy}=173 \\ \\ x+10y+z=47 \\ x+10z+y=173~~~(scadem~relatiile:din~a~doua~o~scadem~pe~prima) \\ --------- \\ 9z-9y=126\Rightarrow~z-y=14,~imposibil.$

$Perechile~de~numere~sunt~(18;29)~si~(19;28).$