Question

Suma dintre produsul si raportul a doua numere naturale este 195. Aflati numerele

Answer 1

$\it Fie\ x,\ y\in\mathbb{N}\ numerele\ cerute.\\ \\ \\ xy+\dfrac{x}{y}=195\ \ \ \ \ (1)$

În relația (1) xy este număr natural și 195 este număr natural, deci raportul x/y trebuie să fie număr natural.

$\it \dfrac{x}{y} \in \mathbb{N} \Rightarrow y|x \Rightarrow x = ky\ \ \ \ \ (2)$

$\it (1),\ (2) \Rightarrow ky\cdot y+\dfrac{ky}{y}=195 \Rightarrow ky^2+k=195 \Rightarrow k(y^2+1)=195 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow k(y^2+1) =3\cdot5\cdot13 \Rightarrow k(y^2+1) = 39\cdot5 \Rightarrow k(y^2+1) =39(2^2+1) \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow k=39, y=2\\ \\ \\ x=30\cdot2=78$

Numerele cerute sunt 78 și 2.