Question

sunt in poza exercitiile

Answer 1

1)
Intai verificam continuitatea in x0=0. Trebuie sa obtinem ca limita la stanga e egala cu limita la dreapta egal si cu f(0).
ls(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din f(x)=limita din x^4=0^4=0
ld(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mari ca 0 din f(x)=limita din x^3=0
f(0)=0^4=0
f(0)=0^4=0
Functia e continua. Verificam derivabilitatea.
Ls(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din x^4-0^4/x-x=limita din x^4/x=limita din x^3=0
Ld(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mari ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din x^3-0^4/x-x=limita din x^4/x=limita din x^3=0
Functia e derivabila
Deci f'(0)=0

2)
Intai verificam continuitatea in x0=1. Trebuie sa obtinem ca limita la stanga e egala cu limita la dreapta egal si cu f(1).
ls(1)=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mici ca 1 din f(x)=limita din 4/x^2+1=4/1+1=4/2=2
ld(1)=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mari ca 1 din f(x)=limita (x^2+1)=1^2+1=1+1=2
f(1)=4/1+1=4/2=2
Functia e continua. Verificam derivabilitatea.
Ls(1)=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mici ca 1 din f(x)-f(1)/x-1=limita din 4/x^2+1-2/x-1=limita din (4/x^2+1-2(x^2+1)/x^2+1)/(x-1)=2
Ld(1)=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mari ca 1 din f(x)-f(1)/x-1=limita din (x^2+1)-2/x-1=limita din x^2-1/x-1=limita din (x-1)(x+1)/x-1=limita din (x+1)=1+1=2
Functia e derivabila.
Deci f'(1)=2