Question

TESTUL 2

1. Să se determine m-aparține-R pentru care vectorii a şi b sunt perpendiculari ştiind că a(m+1, m-1), b(3m-1, -15).

2. În paralelogramul ABCD se cunosc AB = 1, BC = 2, m(BAD)=120°.Sa se calculeze AC•AD.

3. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC știind că BC = 3 și cos A =3/5

4. Să se rezolve triunghiul ABC știind că a+b=2+√3, C = 30° şi sin A = 1.​

Answer 1

Răspuns:

T2

Explicație pas cu pas:

1) condiția ca doi vectori să fie perpendiculari:

$\overrightarrow{v_{1}} \perp \overrightarrow{v_{2}}\Leftrightarrow x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = 0$

a(m+1, m-1), b(3m-1, -15)

$(m+1)(3m-1) + (m-1)(-15) = 0$

$3 {m}^{2} + 3m - m - 1 - 15m + 15 = 0$

$3 {m}^{2} - 13m + 14 = 0$

$(3m - 7)(m - 2) = 0$

$\bf m_{1} = \frac{7}{3} ; m_{2} = 2$

2) ABCD paralelogram

AB = DC = 1, AD = BC = 2

AC² = AD² + DC² - 2×AD×DC×cos(BAD)

AC² = 2² + 1¹ - 2×2×1×cos(120°)

AC² = 5 + 4×(-½) = 5 - 2 = 3

AC = √3

AC×AD = √3×2 = 2√3

3)

${ \sin}^{2}x + { \cos}^{2}x = 1$

${ \sin}^{2}A = 1 - {\Big( \frac{3}{5}\Big)}^{2} \iff { \sin}^{2}A = \frac{16}{25} \\ \sin A = \frac{4}{5}$

teorema sinusurilor:

$\frac{a}{ \sin A} = 2R \iff \frac{BC}{ \sin A} = 2R \\ 2R = \frac{3}{ \frac{4}{5} } \implies \bf R = \frac{15}{8}$

4) sin A = 1 => A = 90°

90°C = 30° => B = 60°

c = ½×a <=> a = 2c (cateta opusă unghiului de 30°)

a+b = 2+√3 <=> 2c + b = 2+√3

b² + c² = a² <=> b² + c² = 4c² <=> b² = 3c² => b = c√3

2c + c√3 = 2+√3

c(2+√3) = 2+√3 => c = 1

=> a = 2 => b = √3