Question

$Aflati~cifra~din~mijloc~a~numarului~A=1+11+111+...+111...1, \\ \\ ultimul~termen~continand~cifra~1~de~1989~de~ori. \\ ------------------------------ \\ \\ *Problema~a~aparut~in~Gazeta~Matematica,~numarul~4/1989,~ \\ \\ in~sectiunea~"Probleme~pentru~concursul~anual~al~rezolvitorilor".$

Answer 1

9A=9+99+999+.....999...9
9A+1989=10+100+1000+...+1000...0=111...10 (de 1989 ori 1 si un 0)
A=(111...10-1989):9
111...10-1989 =111111111111111111111.................11111111111091221
Numarul obtinut are primele 1990-6=1884 cifre toate egale cu 1
Trebuie sa-l impartim la 9. Obtinem un numar de 1989 de cifre, ne intereseaza a 995-a cifra.
Atunci cand aplicam algoritmul de impartire, se intampla un lucru similar cu impartirea:
0.(1)/9=0.(0123456789)
Deci, numarul A va fi de forma:
12345678901234567890...............1234567890...................
Cert e ca primele 1000 de cifre se repeta din 10 in 10. Asta inseamna  ca a 995-a cifra este 5.