Matematică, întrebare adresată de albastruverde12, 9 ani în urmă

Am~gasit~din~nou~o~problema~cu~solutia~gresita. \\  \\ Problema~suna~in~felul~urmator: \\  \\ "Daca~x~este~masura~unuia~din~unghiurile~ascutite~ale~unui~ \\  \\ triunghi~dreptunghic,~sa~se~arate~ca:~sin~x+cos~x~+ \frac{1}{sin~x \cdot cos~x} \geq  \\  \\  \geq 2+ \sqrt{2}."  \\  \\ Solutia~de~la~sfarsitul~cartii~este~urmatoarea:

"Notam~m=sin~x~si~n=cos~x.~Cum~m^2+n^2=1~si~m,n \in (0,1), \\  \\ aratam~ca~m+n+ \frac{1}{mn} \geq 2+ \sqrt{2}.~Intr-adevar,~m+n+ \frac{1}{mn} \geq  \\  \\  \geq 2+ \sqrt{2} \Leftrightarrow   m+n- \sqrt{2}  \geq 2- \frac{1}{mn}  \Leftrightarrow   \frac{(m+n- \sqrt{2})(m+n+ \sqrt{2})}{m+n+ \sqrt{2}}  \geq  \frac{2mn-1}{mn} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow   \frac{(m+n)^2-2}{m+n+ \sqrt{2}}    \geq  \frac{2mn-1}{m+n+ \sqrt{2}}  \Leftrightarrow    \frac{2mn-1}{m+n+ \sqrt{2}} \geq   \frac{2mn-1}{mn }  \Leftrightarrow  \frac{1}{m+n+ \sqrt{2}} \geq  \frac{1}{mn}, \\  \\ evident. " \\  \\ Insa~aceasta~evidenta~nu~este~deloc~evidenta !~Este~echivalenta~cu \\  \\ m+n + \sqrt{2} \leq mn,~ceea~ce~nu~este~valabil~pentru~orice~m~si~n.

Daca~luam,~de~exemplu~x=60 \textdegree,~obtinem: \\  \\  \frac{1}{ \frac{1}{2}+ \sqrt{2}+ \frac{ \sqrt{3}}{2}  }  \geq  \frac{4}{ \sqrt{3}} \Leftrightarrow  \frac{2}{1+2 \sqrt{2}+ \sqrt{3}} \geq  \frac{4}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \geq    4+8 \sqrt{2}+ 4\sqrt{3},~fals!

Tin~insa~sa~mentionez~ca~aceasta~problema~a~aparut~si~in~ \\  \\ Gazeta~Matematica~7/1988~avand~urmatorul~enunt: \\  \\ "Fie~a,b\ \textgreater \ 0~cu~a^2+b^2=1.~Sa~se~demonstreze~ca: \\  \\ a+b+ \frac{1}{ab} \geq 2+ \sqrt{2}.",~insa~nu~a~fost~publicata~solutia.

Intrebarea~mea~ar~fi~urmatoarea:~Cum~se~rezolva~aceasta \\  \\ problema,~si,~eventual,~unde~este~greseala~din~rezolvarea \\  \\ de~la~sfarsitul~cartii?


albastruverde12: inegalitatea initiala se verifica, dar nu si cea finala!
albastruverde12: cand am spus ca solutia este gresita, la asta m-am referit: la faptul ca 1/(m+n+rad(2)) > = 1/(mn) nu este valabil...enuntul problemei este insa corect
matepentrutoti: Se pare ca problema la demonstratie este la ultimul pas.
matepentrutoti: 2mn-1=2sinxcosx-1=
albastruverde12: stiu...nu trebuia impartit prin (2m-1)...indicat ar fi fost sa fi trecut ambii membri intr-o parte si se dadea factor comun pe 2m-1...apoi se analizau niste cazuri
matepentrutoti: =2sinxcosx-(sin^2(x)+cos^2(x))=-(sin(x)-cos(x)^2<0
matepentrutoti: si se schimba semnul inegalitatii
matepentrutoti: Revenim maine cu forte proaspete! ;)
albastruverde12: maine, adica dimineata ;) (caci este trecut de miezul noptii :)) )
albastruverde12: ies si eu acum...Noapte buna! :)

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Incognito
18
[tex]\frac{2mn-1}{m+n+\sqrt2}\geq\frac{2mn-1}{mn}\\ dar~ 2mn-1\leq 0,\ deci\\ \frac{1}{m+n+\sqrt2}\leq\frac{1}{mn}\\ m+n+\sqrt2\geq mn\\ Inegalitatea~ este~ in~adevar~ evidenta~deoarece~mn\leq\frac{1}{2} [/tex]

albastruverde12: Este corect rezolvat! Multumesc frumos! :)
Incognito: Cu placere. Eu cred ca si la sfarsit au gandit-o corect, dar au facut o mica grseala de tipar si nu si-au dat seama
Alte întrebări interesante