Question

[tex] \Delta_3=\begin{vmatrix}
b-c& c-a & a-b \\
b+c & c+a & a+b \\
b^2-c^2 & c^2-a^2 & a^2-b^2 \\

\end{vmatrix}.\\ \\ Sa~se~determine~determinanul.\\ \\ Si~o~explicatie~pe~masura,~multumesc! [/tex]

Answer 1

$delta3=\left|\begin{array}{ccc}b-c&c-a&a-b\\b+c&c+a&a+b\\b^2-c^2&c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=Adunam~toate~coloanele~la~prima~coloana~(c_1+c_2+c_3)=\left|\begin{array}{ccc}b-c+c-a+a-b&c-a&a-b\\b+c+c+a+a+b&c+a&a+b\\b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2&c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right| =$

$\left|\begin{array}{ccc}0&c-a&a-b\\2(a+b+c)&c+a&a+b\\0&c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=Calculam~dupa~regula~triunghiului=0+2(a+b+c)(c^2-a^2)(a-b)+0-0-0-2(a+b+c)(c-a)(a^2-b^2)=$

$2(a+b+c)(c^2-a^2)(a-b)-2(a+b+c)(c-a)(a^2-b^2)=2(a+b+c)(c-a)(c+a)(a-b)-2(a+b+c)(c-a)(a-b)(a+b)=Scoatem~factor~comun~expresia~2(a+b+c)(c-a)(a-b)=2(a+b+c)(c-a)(a-b)[(c+a)-(a+b)]=2(a+b+c)(c-a)(a-b)(c+a-a-b)=2(a+b+c)(c-a)(a-b)(c-b)=2(a+b+c)*(-1)*(a-c)(a-b)*(-1)*(b-c)=2(a+b+c)(a-b)(a-c)(b-c)$

Dupa metoda din carte (si cea propusa mai sus):

$delta3=\left|\begin{array}{ccc}0&c-a&a-b\\2(a+b+c)&c+a&a+b\\0&c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=2(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}0&c-a&a-b\\1&c+a&a+b\\0&c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=2(a+b+c)*1*(-1)^{2+1}*\left|\begin{array}{cc}c-a&a-b\\c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=(-1)*2(a+b+c)\left|\begin{array}{cc}c-a&a-b\\c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=-2(a+b+c)\left|\begin{array}{cc}c-a&a-b\\c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|$

Asta e forma din carte.

Acum daca vom calcula si acel determinant de ordin 2, obtinem dupa calcule algebrice, forma finala de mai sus.

$delta3=-2(a+b+c)\left|\begin{array}{cc}c-a&a-b\\c^2-a^2&a^2-b^2\end{array}\right|=-2(a+b+c)[(c-a)(a^2-b^2)-(a-b)(c^2-a^2)]=-2(a+b+c)[(c-a)(a-b)(a+b)-(a-b)(c-a)(c+a)]=-2(a+b+c)(a-b)(c-a)[a+b-(a+c)]=-2(a+b+c)(a-b)*(-1)*(a-c)(a+b-a-c)=(-2)*(-1)(a+b+c)(a-b)(a-c)(b-c)=2(a+b+c)(a-b)(a-c)(b-c)$