Question

$Determinati~prima~zecimala~a ~numarului \\ T=\sqrt{n+ n^{2} }~~,n~apartine~lui~N$

Answer 1

Putem afla prima zecimala pentru n∈N*.
Pentru n=1⇒T=√2=1,414213562..
Pentru n=2⇒T=√6=2,449489743..
Pentru n=3⇒T=√12=3,464101615..
Pentru n de la 1 la 3 observam ca T are prima zecimala 4.
Vom demonstra acum ca T are prima zecimala 4 pentru orice numar natural nenul.
Aratam ca partea intreaga a lui T este n.
[T]=n
[tex] \sqrt{n^2} \leq \sqrt{n^2+n} \ \textless \ \sqrt{(n+1)^2} \\ n \leq T\ \textless \ n+1\\ [/tex]
[T]=n
Vom arata ca :
n+4/10<T<n+5/10⇔n+2/5<T<n+1/2⇔
(n+2/5)²<T²<(n+1/2)²⇔
n²+4n/5+4/25<n²+n<n²+n+1/4
n²+4n/5+4/25<n²+n⇔n>4/5(Adevarat pentru n numar natural nenul)
n²+n<n²+n+1/4⇔1/4>0(Adevarat pentru orice numar natural nenul)
Am demonstrat ca n+4/10<T<n+5/10 si [T]=n.
Din aceste doua relatii deducem ca prima zecimala a lui T este 4, pentru orice numar natural nenul.

Answer 2

Alta metoda : Avem: $\sqrt{1+1^2}= \sqrt{2}=1,41...$, Deci daca prima zecimala e 4, aceeasi pentru ∀n∈N*, inseamna ca partea zecimala a lui T, {T}∈(0,4; 0,5).Demonstratia mai jos.