Question

$\int\limit \int\limit(1-y)\, dx dy$ pe domeniul (D): $x^{2} +( y-1) ^{2} \leq 1,y \geq x^{2} ,x \geq 0$

Vreau rezolvare completa pas cu pas,detaliat.

Answer 1

Prima  ecuatie  reprezinta  discul  marginit  de  cercul  c  de  centru  Q(0,2)  si  raza  r=1.
y=x² este  o  parabola.
Domeniul  tau  e  delimitat  de  arcul  de  cerc  AB , arcul parabola A B (suprafa  hasurata   din  figura)
Determini   coordonatele   punctului  A  din  figura,  rezolvand  sistemul
{x²+(y-1)²=1   ecuatia  (1
{y=x²               ec.(2
Inlocui  val  lui y  in  prima  ecuatie
obtii  x^4-x²=0   x1=0,x2=1  x3= -1 Deoarece x≥0   ,se  retin   doar   primele  valori  x1  si  x2  reprezinta  limitele  de  integrare  pt integrala   in   x
x1=0  =>  y1=2
x2=1  y2=1
 y1  y2   reprezinta   limitele  de   integrare  pt   integrala   in  y
Aplici  formula
∫∫df(x,y)dxdy=∫[∫f(x,y)dy]dx  x∈[0,1]  y∈[1,2]
∫∫(1-y)dx*dy=∫[∫(1-y)dy]*dx   x∈[0,1]   y∈[1,2]
consideri  y  variabila  de  integrare
∫(1-y)dy=y-y²/2   y∈[1,2]
Aplici  formula   Leibniz newton  si  obtii[(2-2²/2)-(1-1/2 ²)=2-2-(1-1/4)= -3/4
Integrezi  acum  dupa  x
∫(-3/4)dx   = x∈[0,1]
-3/4∫dx=-3/4*x  x∈[0,1] Conf  Leibniz  Newton  obtii
-3/4 *1+3/4*0=-3/4
Intrebari?