Question

$\lim_{t \to \infty} \int\limits^t_1 { \frac{1}{ x ( x^{2} +1)} } \, dx$

Answer 1

Rezolvăm mai întâi integrala, descompunând-o în fracţii simple:

$\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}+1} = \frac{Ax^{2}+A+Bx}{x(x^2+1)}$

La numărător trebuie să avem 1:

[tex]Ax^{2}+A+Bx = 1\\ => A=1 \ si \ B=-x[/tex]

Având A-ul şi B-ul, integrala iniţială va fi de forma:

$\int\limits^t_1 {\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}} \, dx = \int\limits^t_1 {\frac{1}{x} - \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}}$

Le luăm separat:

$\int\limits^t_1 {\frac{1}{x} \ dx = lnx \ |^{t}_{1} = ln \ t$

$- \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}} = - \frac{1}{2}\int\limits^t_1 \frac{2x}{x^{2}+1}}$

notăm $x^{2}+1=y$ <=> $2x \ dx = dy$

=> $-\frac{1}{2} ln (x^{2} +1) |^{t}_{1} = -\frac{1}{2} ln (t^{2} +1) - \frac{1}{2}ln2$

După ce aducem totul la o formă mai convenabilă, o să avem:

$\lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}}$

Limită din ln este egală cu ln din limită. Evident, limita la acea fracţie este 1 (grad 1 pe grad 1):

$\lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}} = ln \ 1 = 0$