Question

$log _{5} (x+2)-log _{5} (2x-5)=1$

Answer 1

conditie   x +2 > 0            , x >  -  2 
               2x -5 > 0             x > 5 /2  
                                  solutia ec . x ∈ ( 5 / 2 , + ∞ ) 
log ( x +2 ) / ( 2x -5 )  = 1
   5 
( x +2 ) / ( 2x -5 ) = 5 ¹ 
x + 2 = 10x - 25 
27 = 9x 
x =3

Answer 2

Pentru a exista logaritmii trebuie ca bazele sa fie strict pozitive si diferite de 1, fapt ce este verificat (5>0, 5≠1) si in acelasi timp expresia din logaritm trebuie sa fie strict pozitiva.

Asadar avem conditiile de existenta:

$\left \{ {{x+2\ \textgreater \ 0} \atop {2x-5\ \textgreater \ 0}} \right.$
adica
$\left \{ {{x\ \textgreater \ -2} \atop {x\ \textgreater \ \frac{5}{2} }} \right.$

A doua inegalitate o acopera si pe prima deci o vom pastra numai pe ea. Deci deocamdata impunem $x\ \textgreater \ \frac{5}{2}$

Avem formula $log_ax-log_ay=log_a \frac{x}{y}$

Aplicam pentru datele noastre si avem

$log_5 \frac{x+2}{2x-5} =1$

Adica
$\frac{x+2}{2x-5}=5$ 
Deci
$x+2=5(2x-5)$
$x+2=10x-25 \\ 9x=27 \\ x=3$
Solutia gasita verifica deoarece este mai mare decat $\frac{5}{2}$.