Question

$S_{1} =1+2+ 2^{2} + 2^{3} +...+ 2^{2014}$ si
$S_{2} =1+3+ 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2015}$
a)Verificați dacă $S_{1}$ se divide cu 7.
b)Verificați dacă $S_{2}$ se divide cu 40.

Answer 1

    [tex] S_{1} =1+2+ 2^{2} + 2^{3} +...+ 2^{2014} \\ \text{Observam ca suma primilor termeni este: } \\ 1+2+2^2 = 1+2+4= 7 \\ =\ \textgreater \ ~~\text{Putem grupa toti termenii in grupe de cate 3 termeni.} \\ S_{1} =(1+2+ 2^{2}) + (2^{3} + 2^4+2^5) +(2^6+2^7+2^8)+... \\ S_{1} =1(1+2+ 2^{2}) + 2^3(1 + 2+2^2) +2^6(1+2+2^2)+... \\ S_{1} =1 \times 7 + 2^3 \times 7 +2^6 \times 7+... \\ S_{1} = 7(1+2^3+2^6 +....) ~~ =\ \textgreater \ ~~ Aparent ~S_1~este~ divizibil~cu~7. \\ [/tex]

[tex]\text{Verificam daca avem voie sa grupam termenii llui } S_1, \\ ~in grupe ~de ~3~termeni. \\ \text{Primul termen este }2^0~iar~ultimul~este~2^{2014} \\ =\ \textgreater \ ~~ Sunt~~ 2015 ~termeni. \\ 2015~nu~este~divizibil~cu~3. \\ =\ \textgreater \ ~ \text{Nu putem face gruparea de mai sus} \\ =\ \textgreater \ \boxed{S_1 ~~ nu~este~divizibil~cu~7 }[/tex]

********************************

[tex] S_{2} =1+3+ 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2015} \\ \text{Obsevam ca suma primilor 4 termeni = 40} \\ 1+3+ 3^{2} + 3^{3} = 1+3+9+27 = 40 \\ =\ \textgreater \ ~~\text{Vom gruma sirul de termeni in grupe de cate 4 termeni} \\ \text{Verificam daca avem voie: } \\ Primul ~termen = 1 = 3^0 ~~su ~ultimul = 3^{2015} \\ =\ \textgreater \ ~~In~total~avem~2016~termeni. \\ 2016~este~divizibil~cu~4~adica~~~\boxed{2016 \;\vdots\;4} \\ =\ \textgreater \ ~~\text{Avem voie sa grupam termenii in grupe de cate 4 termeni.} \\ [/tex]

[tex]S_2=1+3+ 3^{2} + 3^{3} +3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10}+3^{11}+... \\ ...+3^{2012}+3^{2013}+3^{2014}+3^{2015}= \\ \\ =(1+3+ 3^{2} + 3^{3}) +(3^4+3^5+3^6+3^7)+(3^8+3^9+3^{10}+3^{11})+... \\ ...+(3^{2012}+3^{2013}+3^{2014}+3^{2015})= \\ =1(1+3+ 3^{2} + 3^{3}) +3^4(1+3+3^2+3^3)+3^8(3+3+3^2+3^3)+... \\ ...+3^{2012}(1+3 +3^2 +3^3)= \\ =(1+3+ 3^{2} + 3^{3})(1+3^4+3^8+...+3^{2012})= \\ = (1+3+ 9 + 27)(1+3^4+3^8+...+3^{2012})= \\ = \boxed{40(1+3^4+3^8+...+3^{2012}) ~\vdots~40} ~(Este~divizibil~cu~40)\\ cctd[/tex]

Answer 2

$S _{1} =1+2+2^2+2^3+...+2^{2014}$
Observam ca 1+2+2²=1+2+4=7
S₁ are 2015 termeni si ar trebui sa fie multipli de 3
2015:3=  671 rest 2=> nu putem grupa termenii cate 3=> 
S1 nu este divizibil cu 7


$S _{2} =1+3+3^2+3^3+...+3^{2015}$
observam ca 
1+3+3²+3³=1+3+9+27=40
S₁ are 2016 termeni si ar trebui sa fie multiplu de 4
2016:4=504 rest 0=> ok
$S _{2} =(1+3+9+27)+3^{4}(1+3+9+27)+...+3^{2012}(1+3+9+27)$
$S _{2} =40+3^{4}*40+...+3^{2012}*40$
$S _{2} =(1+3^{4}+...+3^{2012})*40$
=> S₂  se divide cu 40