Question

$\sqrt{(x+1)^2} - \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x+3)^2} =\sqrt{x^2-4x+4}$

Answer 1

Luand radical din un nr la patrat obtinem acelasi numar, facem asta in mare parte din membrul stang In membrul drept obs ca x^2-4x+4=(x-2)(x-2)=(x-2)^2 Ramanem cu X+1+-(x-1)+x+3=+-(x-2)
Analizam cazul cu +
Obtinem 3x+3=x-2
x=-5/2
Analizam cazul cu -
Obtinem x+5=-x+2
2x=-3
x=-3/2

Answer 2

Lucrul cheie pe care trebuie sa-l tii minte la astfel de exercitii este ca radicalul dintr-un numar la patrat este de fapt modul din acel numar
Adica $\sqrt{a^{2}}=|a|$
 deci in functie de semnul lui a, vei avea -a sau +a
Daca a<0 atunci |a|=-a
Daca a>=0 atunci |a|=a

Atunci in cazul exercitiului tau
$|x+1|-|x-1|+|x+3|=\sqrt{x^{2}-4x+4}=\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|$
Observi ca ai pentru semne urmatoarele praguri: -3,-1,1 si 2
Deci avem urmatoarele cazuri
a) x<-3. Atunci x+3<0 si daca x e mai mic decat -3, va fi mai mic decat toate celelalte praguri. Deci avem
|x+1|=-(x+1)
|x-1|=-(x-1)
|x+3|=-(x+3)
|x-2|=-(x-2)
Si avem
$-(x+1)+(x-1)-(x+3)=-(x-2)\Rightarrow -x-1+x-1-x-3=-x+2\Rightarrow -x-5=-x+3\Rightarrow 3=5$ ceea ce evident este fals, deci ecuatia nu are solutii pentru x<3
Cazul 2) x>-3 dar x<-1. Atunci, x+3>0, si |x+3|=x+3
Dar x+1<0 si evident pragurile mai mari 1 si 3 vor face ca modulele sa fie tot negative
|x+1|=-(x+1)
|x-1|=-(x-1)
|x+3|=x+3
|x-2|=-(x-2)
Atunci avem
$-(x+1)+(x-1)+x+3=-(x-2)\Rightarrow -x-1+x-1+x+3=-x+2\Rightarrow x+1=-x+2\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ dar ne aducem aminte ca am presupus ca -3<x<-1, interval in care x=0.5 nu se afla, deci nici in acest interval nu exista solutii
c) x>-1 si x<1. Acum o sa avem x+1>0 adica |x+1|=x+1 dar |x-1|=-(x-1) Per total vom avea
|x+1|=x+1
|x-1|=-(x-1)
|x+3|=x+3
|x-2|=-(x-2)
Adica
$x+1+(x-1)+x+3=-(x+2)\Rightarrow x+1+x+1+x+3=-x+2\Rightarrow 3x+5=-x+2\Rightarrow 4x=-3\Rightarrow x=\frac{-3}{4}$
De data aceasta -0.75 face parte din intervalul (-1,1) deci aceasta e prima solutie valida. 
d) Acum presupunem ca x>1 dar x<2
Atunci o sa avem x-1>0 adica |x-1|=x-1 si x-2<0 adica -(x-2)
Per total o sa avem
|x+1|=x+1
|x-1|=x-1
|x+3|=x+3
|x-2|=-(x-2)
Adica
$x+1-(x-1)+x+3=-(x-2)\Rightarrow x+1-x+1+x+3=-x+2\Rightarrow x+5=-x+2\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=\frac{-3}{2}$ dar x>1, deci nu poate fi -1.5, Solutie care nu poate exista
e) si acum ultimul caz: x>2, x-2>0, |x-2|=x-2 si toate sunt pozitive
|x+1|=x+1
|x-1|=x-1
|x+3|=x+3
|x-2|=x-2
$x+1-(x-1)+x+3=x-2\Rightarrow x+1-x+1+x+3=x-2\Rightarrow x+5=x-2\Rightarrow 5=-2$ care este evident fals.
Deci singura solutie valida este  -0.75