Question

$\text{Se considera in plan punctele A(3,0), B(0,-5) si dreapta (d):x-y=0}\\\text{Valoarea minima a sumei MA+MB pentru M}\in(d)\text{ este:}\\\boxed{A}.4~~~\boxed{B}.8~~~\boxed{C}.0~~~\boxed{D}.5~~~\boxed{E}.7$
Ok, stiu ca raspunsul este B, dar ma intereseaza o metoda rapida de rezolvare. (ceva ce nu implica functii si derivate) .

Answer 1

.............................

Answer 2

Urmareste figura de mai jos.

Consideram T - simetricul lui A fata de OB.

Avand in vedere ca ne aflam intr-un caz mai special (OB=Oy), coordonatele lui B pot fi deduse direct (fara calcule). Asta pentru ca triunghiul AOT este dreptunghic isoscel, deci daca A are coordonatele (a,0) va rezulta ca T are coordonatele (0,a), unde a=3. (Evident nu (0,-a).)

P se afla pe mediatoarea segmentului [AT]. Atunci PA=PT.

Deci PA+PB=PT+PB.

Din inegalitatea triunghiului aplicata in triunghiul PBT, rezulta PT+PB≥BT, cu egalitate in cazul in care triunghiul PBT este degenerat (deci P,B,T coliniare in cazul de fata).

Punctul P parcurge dreapta de ecuatie y=x. Pentru ca P,B,T sa fie coliniare trebuie ca P sa apartina dreptei Oy, ceea ce se poate doar pentru P=O.

Asadar suma MA+MB are valoarea minima OA+OB=3+5=8.