Question

Trapezul isoscel ABCD este circumscris in cerc. Aflati raza cercului, daca AB=20cm, BC=8cm

Answer 1

Desenăm trapezul ABCD, notat din dreapta jos, în sens trigonometric.

Ducem cercul interior trapezului, care este tangent laturilor AB, BC, CD, DA în

punctele M, N, P, respectiv Q.

Deoarece tangentele duse dintr-un punct exterior au lungimi egale,

putem nota : PD = DQ = QA = AM = x,  MB = BN = NC = CP = y

BC = 2y = 8 ⇒ y = 8:2 ⇒y = 4    (1)

AB = x+y = 20    (2)

Din relațiile (1), (2) ⇒x + 4 = 20 ⇒  x = 16 .

Deci, AD = 2x = 2·16 = 32 cm

BC = 2y = 8 cm.

Unim punctele N și Q și obținem NQ = diametrul cercului înscris.

Evident, NQ este și înălțime a trapezului.

Ducem BF⊥QA, cu F pe QA.

Se formează triunghiul dreptunghic FAB, cu AB = 20 cm și

  FA = QA - QF = QA - NB = 16 - 4 = 12 cm.

Cu teorema lui Pitagora determinăm BF = 16 cm ⇒ NQ = 16 cm ⇒

⇒ raza cercului înscris este r = 16:2 = 8 cm  .

Observație:

Problema are sens pentru trapezul isoscel ABCD, cu bazele  AD || BC, AD > BC.