Question

Triunghiul echilateral ABE si dreptunghiul Abcd sunt in plane diferite . M este  mijlocul lui AB ,EM este perpendiculara pe AD , AB=6 cm si AD=3 cm 
a) Calculati d(D,E) , d(M,E) si d(D,BE)
b)Aratati ca triunghiul CMD este dreptunghic 
c)Demonstrati ca EM perpendicular (ABC )
d)Demonstrati ca CM perpendicular (DME)  

vA ROOOG AJUTATI.MA 

Answer 1

a) Asa cum se vede in desenul atasat, cum ABCD dreptunghi =>
AD perpendicular pe AB (care este inclus in planul ABE).
Din ipoteza AD este perpendiculara pe EM.

Din aceste doua relatii rezulta ca AD este perpendicular pe planul ABE (pentru ca este perpendiculara pe doua drepte concurente), deci si pe orice dreapta inclusa in acel plan, adica AD perpendiculara si pe AE ( inclusa in planul ABE).

Deci triunghiul DAE este dreptunghic in A, iar DE este ipotenuza. Aplicam Teorema lui Pitagora:
AD=3 (din ipoteza)
AE=6 (din triunghiul ABE echilateral)
$DE^{2} = 3^{2} + 6^{2}$=45
$DE=3 \sqrt{5}$ cm

EM este mediana in triunghiul ABE echilateral, deci este si inaltime (este mediatoarea lui [AB]) si, cu Teorema lui Pitagora in triunghiul AME dreptunghic in M:
$ME^{2} = AE^{2} - AM^{2}$=
$= 6^{2} - 3^{2}$=$3 \sqrt{3}$ cm

Pentru a calcula d(D,BE) ne trebuie perpendiculara din D pe BE:

Observam ca daca ducem inaltimea AN din A pe BE in triunghiul echilateral ABE, AN va fi si mediana (din proprietatile triunghiului echilateral), deci EN=NB=3 cm si avem:

AD perpendiculara pe planul ABE (am aratat mai sus)
AN perpendiculara pe EB (am construit)
(Vom avea AN=EM=$3 \sqrt{3}$ cm pentru ca intr-un triunghi echilatarl inaltimile sunt egale)

Deci, din Teorema celor trei perpendiculare (T.3P.) rezulta ca DN perpendiculara pe EB, adica exact ce cautam.

Cum AD perpendiculara pe planul ABE rezulta ca AD perpendiculara si pe AN, adica triunghiul ADN este dreptunghic in A si aplicam Teorema lui Pitagora:

$DN^{2} = AD^{2} + AN^{2}$=9+27=36
DN=6 cm

b) In triunghiul ADM dreptunghic in A calculam DM cu Teorema lui Pitagora:
$DM^{2} = AD^{2} + AM^{2}$=9+9=9*2
DM=$3 \sqrt{2}$ cm

Analog procedam in triunghiul CBM dreptunghic in B:
$CM^{2} = CB^{2} + BM^{2}$=9+9=9*2
CM=$3 \sqrt{2}$ cm

CD=6 cm din dreptunghiul ABCD.

Observam ca, din calculele de mai sus, inlocuind valorile gasite, avem:
$DC^{2} = DM^{2} + MC^{2}$
(pentru ca $6^{2} = 18 + 18$)
deci, folosind Reciproca Teoremei lui Pitagora, rezulta ca triunghiul CMD este dreptunghic in M.

c) Stim ca EM perpendicular pe AB (mediana si inaltime in triunghiul echilateral ABE)
EM perpendiculara pe AD (din ipoteza)

Deci EM perpendiculara pe planul (ABCD)=(ABC)

d) Am aratat ca CM perpendicular pe DM.
CM perpendicular pe EM (am aratat la subpunctul anterior ca EM perpendiculara pe planul (ABC), deci si pe orice dreapta inclusa in acel plan, adica si pe CM)

Deci CM perpendicular (DME) .