Question

Triunghiul echilateral VAB, cu VA=18 cm, este o sectiune axiala a unui con circular drept de varf V, M este mijlocul segmentului VB, iar N este mijlocul arcului AB al cercului bazei conului. a)Calculati masura unghiului format de dreapta VN cu planul bazei. b)calculati lungimea proiectiei segmentului MB pe planul (ABN). c)calculati lungimea proiectiei segmentului AN pe planul (VAB)

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Evident, VA,  VB  și VN sunt generatoare ale conului, deci:

VA = VN = VB = 18 cm.

AB = 18 cm ⇒ OA = OB = ON = 9 cm (raze ale bazei).

a)

Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de dreaptă

cu proiecția ei pe plan.

Proiecția lui VN pe planul bazei este ON = 9 cm.

$\it \widehat{[VN,\ (ANB)]}=\widehat{(VN,\ NO)}=\widehat{(VNO)}\\ \\ VO\perp (ANB)\ \ \c{s}i\ \ NO\subset(ANB)\ \Rightarrow VO\perp NO \Rightarrow \Delta VON-dr\ (\hat O=90^o)\\ \\ VN=18\ cm,\ iar\ ON = \dfrac{18}{2}=9cm$

Din reciproca teoremei unghiului de 30°, vom avea:

$\it \widehat{(OVN)}=30^o \Rightarrow \widehat{(VNO)}=60^o\ (complementul\ lui\ 30^o )\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow\widehat{[VN,\ (ANB)]}=60^o$

b) Proiectăm M în M' și proiecția lui MB pe planul (ABN) este M'B.

$\it VO\perp(ABN)\ \ \c{s}i\ \ MM'\perp (ABN) \Rightarrow MM'||VO\ \ \ \ (1)\\ \\ M=\ mijlocul\ lui\ VB\ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow MM'\ -\ linie\ mijlocie\ \^{i}n\ \Delta VOB \Rightarrow M'O=M'B=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5 =pr_{(ABN)}MB$

c)

$\it VO \perp\ (ABN)\ \c{s}i\ NO \subset (ABN) \Rightarrow VO \perp NO \Rightarrow NO \perp VO\ \ \ \ (1)\\ \\ AB-diametrul\ bazei \Rightarrow \Delta ANB-dreptunghic\ \ \ \ (2)\\ \\ N-mijocul\ arcului\ AB \Rightarrow AN=NB\ \ \ \ \ (3)\\ \\ (2),\ (3) \Rightarrow NO\perp AB\ \ \ \ (4)\\ \\ VO,\ \ AB \subset (VAB)\ \ \ \ \ (5)$

$\it (1),\ (4),\ (5)\ NO \perp (VAB) \Rightarrow pr_{(VAB)}AN\ =\ AO=9\ cm\ (raza\ bazei)$