Question

Ultima cifră a numarului 1+2+2la puterea 2+2la puterea 3+.........+2la puterea 100

Answer 1

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
....
deci se repeta aceeasi cifra o data la 4 ori, (2,4,8,6),(2,4,8,6),(2....
2 este de 100 ori ridicat la putere, 100 e numar par si divizibile cu 4, 100/4=25, deci se repeta de 25 de ori ultimele cifre (2,4,8,6)
in sumă, obtinem 2+8+4+6=10+10=20, deci adunând toate numerele, cu exceptia lui 1, vom avea la sfarsit cifra 0, iar adunând si 1, vom avea ultima cifra 1.

Answer 2

$\boxed{2^1+2^2+2^3+...+2^n = 2^{n+1}-2} \quad ( formula )\\ \\ 1+2^1+2^2+2^3+...+2^{100} = 1 +2^{100+1}-2 = 2^{101} - 1 \\ \\ U(2^1) = 2 \\ U(2^2) = 4 \\ U(2^3) = 8 \\ U(2^4) = 6 \\ -----\\ U(2^5) = 2 \\ . \\ . \\ . \\ \\ Ciclul se repeta, impartim pe 101 la 4 (deoarece este un ciclu de 4) \\ 101:4 = 25 rest 1, deci, ciclul se repeta de 25 ori pana la 2^{101}, iar \\ ultima cifra a lui 2^{101} este prima cifra din ciclu (deoarece este rest 1), \\ adica cifra 2.$

$\Rightarrow U(1+2^1+2^2+2^3+...+2^{100}) = U(2^{101} - 1) = 2-1 = 1$