Question

Ultima cifra a numarului:
1 +3 +3(la puterea2) + .........+
3(la puterea 119)
Care va fi ultima cifra?

Dau coroana!​

Answer 1

Avem:

$U(3^{1} )=3\\U(3^{2} )=9\\U(3^{3} )=U(27)=7\\U(3^{4} )=U(81)=1\\-----------$

$U(3^{5} )=3$ - observăm că ultima cifră începe să se repete. Deci se repetă din 4 în 4. Pentru a afla care din cele 4 este cea corectă, trebuie să împărțim exponentul la 4. Restul împărțirii reprezintă ordinea răspunsului în șirul 3, 9, 7, 1.

Putem încerca să calculăm ultima cifră a lui $3^{2019}$. Prin împărțirea lui 2019 la 4 obținem 2019 : 4 = 504 rest 3. Deci înseamnă că ultima cifră va fi 7.

Acum hai să încercăm să calculăm ultima cifră a sumei date de tine:

$S=1+3^{1} +3^{2} +3^{3}+3^{4} +3^{5} +...+3^{2017} +3^{2018}+ 3^{2019}$

Ultima cifră a sumei este, de fapt, ultima cifră a sumei ultimelor cifre. Și avem:

$S=1+3+9+7+1+3+...+3+9+7$

Ne dăm seama că grupul $(3+9+7+1)$ se va repeta de acum. Câtul împărțirii lui 2019 la 4 determină de câte ori se repetă acest grup de numere.

$S=1+504*(3+9+7+1)+3+9+7\\S=20+504*20\\S=20+10.080\\S=10.100$

Ultima cifră a sumei este 0, deci răspunsul corect este 0 va fi ultima cifră.