Question

ultima cifră a numărului s=1+2+2²+..
...+2²⁰²² este​

Answer 1

Răspuns:

Ultimul cifra a numarului S este 7

Explicație pas cu pas:

a) Aflam numarul S:

$S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2022}$

1) Inmultim cu 2 toata expresia si obtinem:

$2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2023}$  - (fiindca inmultim cu 2, puterile cresc cu o unitate)

2) Scadem cele 2 expresii:

$2S-S=(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2023}) - (1+2+2^2+2^3+...+2^{2022}) = 2^{2023}-1$

Obtinem acest numar deoarece din 2S si S, toate numerele inafara de 2²⁰²³ si 1 sunt comune, astfel reducandu-se. Poti vizualiza expresia data ca:  $2S-S=(2^{2023}-1)+2-2+2^2-2^2+...+2^{2022}-2^{2022}$

b) Aflam ultima cifra:

$2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\\\2^5=32\\2^6=64$           Dupa cum vezi, ultima cifra se repeta cu intervale de 4 puteri .

Stiind asta putem deduce logica acestei serii,  astfel putem afla ultima cifra (va fi de folos si in informatica, aceasta). Rezolvare:

1) Fiindca o cifra se repeta, la distanta de 4 puteri, putem deduce ca:  

1/4=0 rest 1;

2/4=0 rest 2

3/4=0 rest 3

4/4=1 rest 0

5/4=1 rest 1

Dupa cum vezi impartim puterea, cu 4 si obtinem:

Daca rest 1 - ultima cifra 2

Daca rest 2 - ultima cifra 4

Daca rest 3 - ultima cifra 8

Daca rest 0 - ultima cifra 6

1) Folosind cunostintele din punctul 1) aflam:

2023/4= 505 rest 3 (astfel ultima cifra este 8)

Fiindca $S=2^{2023}-1$, va trebui sa scadem: 8-1=7

Raspuns: ultima cifra - 7