Question

Un cerc este împărțit în câteva arce ale căror măsuri, exprimate în grade, sunt puteri ale lui 3 având exponenții numere naturale consecutive. Numărul arcelor obținute este:
4
12
10
2
3

Answer 1

• Arcele sunt exprimate in puteri ale lui 3, avand exponenti numere naturale consecutive, adica

3ˣ,3ˣ⁺¹,3ˣ⁺²,3ˣ⁺³....3ˣ⁺ⁿ

Deci suma lor trebuie sa fie egala cu 360°

3ˣ+3ˣ⁺¹+3ˣ⁺²+...+3ˣ⁺ⁿ=360°

n, numarul de arce

Dam factor comun

3ˣ(1+3²+3³+...+3ⁿ)=3²×40

x=2

ne ramane

1+3²+3³+...+3ⁿ=40

• Avem o progresie geometrica cu ratia q=3

b₁=1

$S_n=b_1\times \frac{q^n-1}{q-1} =40\\\\\frac{3^n-1}{2} =40\\\\3^n=81\\\\n=4$

Raspuns: 4 arce

Answer 2

Răspuns: 4 este numărul arcelor obținute

Explicație pas cu pas:

Suma măsurilor arcelor cercului e egală cu 360°

Arcele cercului sunt exprimate în grade, ce sunt puteri ale lui 3 ca fiind numere naturale consecutive astfel:

$\bf 3^{a}; ~ 3^{a+1};~3^{a+2};~3^{a+3};.......;~3^{a+n}$

Deci suma lor trebuie să fie egală cu 360°

$\bf 3^{a}+3^{a+1}+3^{a+2}+3^{a+3}+.......+3^{a+n} =360^{\circ}$

$\bf 3^{a}\cdot\Big(3^{a-a}+3^{a+1-a}+3^{a+2-a}+.......+3^{a+n-a}\Big) =360^{\circ}$

$\bf 3^{a}\cdot\Big(3^{0}+3^{1}+3^{2}+.......+3^{n}\Big) =360$

$\bf \red{\underline{3^{a}}}\cdot\Big(3^{0}+3^{1}+3^{2}+.......+3^{n}\Big) =\red{\underline{3^{2}}}\cdot 2^3\cdot 5$

$\bf \implies 3^{a}=3^{2}\implies \pink{\underline{a=2}}$

Avem de calculat

$\bf \Big(3^{0}+3^{1}+3^{2}+.......+3^{n}\Big) =2^3\cdot 5$

$\bf 3^0 =1$

$\bf 3^{1} =3$

$\bf 3^{2} =9$

$\bf 3^{3} =27$

1 + 3 + 9 + 27 = 40 ⇒ Numărul arcelor obținute este: 4

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 4 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !