Question

Un hexagon regulat și un pătrat au perimetrele egale .Calculați raportul lungimilor cercurilor circumscrise celor două poligoane​

Answer 1

Notam latura patratului cu p, iar latura hexagonului cu h.
Cercul circumscris patratului are raza egala cu $\frac{p\sqrt2}{2}$ (pentru ca este jumatate din diagonala patratului).
Lungimea cercului circumscris patratului va fi:
$L_p=2\pi r=2\pi \frac{p\sqrt2}{2}=\pi p\sqrt2$
Cercul circumscris hexagonului are raza egala cu latura hexagonului, h (daca duci cele 6 raze corespunzatoare varfurilor hexagonului, vei vedea ca se formeaza 6 triunghiuri echilaterale).
Lungimea cercului circumscris hexagonului va fi:
$L_h=2\pi r=2\pi h$
Raportand lungimea cercului circumscris hexagonului la cea a cercului circumscris patratului vom obtine:
$\frac{L_h}{L_p}=\frac{2\pi h}{\pi p\sqrt2}=\frac{h\sqrt2}{p}$
Dar stim ca perimetrul hexagonului este egal cu cel al patratului, adica:
$6h=4p \implies \frac{6h}{p}=4 \implies \frac{h}{p}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Atunci raportul dintre lungimile cercurilor va fi:
$\frac{L_h}{L_p}=\frac{2\sqrt2}{3}$