Question

Un stadion are 30.000 de locuri numerotate de la 1 la 30.000 pe care stau tot atatia spectatori. Spunem ca 2 spectatori sunt prieteni daca numarul locului unuia dintre ei divide numarul celuilalt.
a) Determinati câți prieteni are spectatorul de pe locul 2013?
b) Există un spectator prieten cu toți ceilalți spectatori?
c) Există spectatori care nu sunt prieteni?
d) Există un spectator care are exact 60 de prieteni?
e) Câți prieteni are spectatorul de pe locul n?

Answer 1

a) 2013 are 8 divizori: 1,3,11,33,61,183,671, 2013
pentru ca 2013  e chiar el insusi=> are 7 prieteni
 b) nr 1 divide toate nr, deci
spectatorul cu nr 1 e prieten cu toti ceilalti
c) toate nr se divid cu  1, deci chiar si spectatorii care au loc un nr prim, au un prieten
d) ca un spectator sa aiba 60 de prieteni,  nr lui trebuie sa aiba 61 de divizori, pentru ca nr lui  se scade (nu e prieten cu el insusi :)  )
dar 61 e nr prim, daca am  avea un nr de forma a^m x b^n
nr divizorilor= (m+1)(n+1)
am putea avea 2^60 , nr divizorilor e 61, sau 3^60
dar stadionul are 30 000 locuri iar 2^15>30000
 deci nu putem avea 2^60 => nu exista spectatori cu 60 de prieteni
e) nu putem sti, poate nr lui e nr prim, dar are cel putin un prieten, nr 1