Question

Un trunchi de con circular drept are aria bazei mari de 16 ori mai mare decat aria bazei mici, suma dintre raza mare si dublul razei mici este egala cu dublul inaltimii trunchiului de con. Stiind ca generatoarea conului din care provine trunchiul este 12√2, sa se afle:
a) R, r, h, G
b) aria laterala si volumul truchiului de con
c) sinusul unghiului ∡AVB.

Answer 1

πR² = 16πr²    R = 4r  ⇒ R/r = 4      R + 2r= 2h   6r = 2h       h = 3r
- daca tr. de con are inaltimea OO' = h si raza bazei mici O'A' = r
- si daca conul din care provine trunchiul considerat are inaltimea VO = H, raza bazei OA = R  ⇒ ΔVO'A' asemenea ΔVOA ⇒
⇒ VO'/VO = O'A'/OA = VA'/VA
(H - h)/H = r/R = VA'/12√2 = 1/4 ⇒ VA' = 3√2 cm    A'A = 9√3 cm
(H -h)/H = 1/4    4H - 4h = H    h = 3/4 ·H
VA² = 288 = H² +R² = 16/9 ·h² + 16r²    h² + 9r² = 162   
9r² + 9r² = 162    ⇒ r = 3cm    R = 12cm    h = 9cm  G = 9√3 cm
b) Al = πG(R + r) = 135π√3 cm²  V =π h/3 ·(R² + r² + Rr) = 567π cm³
c)  in Δ VAB    VA² + VB² = 576 = AB² ⇒ mas∡AVB = 90°  sin90° = 1