Question

Un trunchi de piramida triunghiulara regulata avand ariile bazelor egale cu A1 si, respectiv, A2, este sectionat cu un plan parlel cu bazele, dus la jumatatea inaltimii trunchiului, determinand o sectiune de arie egala cu A. Aflati valoarea lui A in functie de A1 si A2.

Answer 1

Notam cu $l_1,\ l_2,\ l$ laturile bazelor si latura secțiunii.

Folosim formula ariei triunghiului echilateral: $A=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}$ si apoi faptul ca latura secțiunii este linie mijlocie in trapezul care este o fata laterala a trunchiului.

$A_1=\dfrac{l_1^2\sqrt3}{4}\Rightarrow l_1=\dfrac{2\sqrt{A_1}}{\sqrt[4]{3}}$

$A_2=\dfrac{l_2^2\sqrt3}{4}\Rightarrow l_2=\dfrac{2\sqrt{A_2}}{\sqrt[4]{3}}$

$l=\dfrac{l_1+l_2}{2}=\dfrac{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_2}}{\sqrt[4]{3}}\Rightarrow l^2=\dfrac{(\sqrt{A_1}+\sqrt{A_2})^2}{\sqrt3}\Rightarrow$

$\Rightarrow A=\dfrac{(\sqrt{A_1}+\sqrt{A_2})^2}{4}$