Question

Unui cerc ii este circumscris un trapez isoscel care are linia mijlocie de lungimea a.Sa se afle lungimea laturii laterale a trapezului si perimetru trapezului.

Answer 1

Construieste un cerc; inscrie cercul intr un trapez isoscel ABCD ( baza mica b ='AB , baza mare = CD) , cerul intersecteaza baza mica in punctul M, baza mare in O, latura neparalela AD in P, latura BC in N; stim ca linia mijolcie = ( b +B) /2 = a, b + B ='2a; baza mare ='DO+ OC ; baza mica = AM + MB ; pt ca DO, DP sunt tangente la cerc ele sunt egale, DO= DP, la fel CO = CN, BM= BN; AM= AP ; le scriem una sub alta , tragem linie si rezulta ca DO+ OC + BM + AM = DP+ AP + CN+ BN ; Baza mare + baza mica = AD + BC ; 2a = AD + BC , AD= BC , 2a= 2 AD, a= AD = BC ; perimetrul = baza mica + baza mare + AD + BC = 2a + 2a = 4a

Answer 2

   Fie ABCD  trapezul, cu AB ||CD, AB>CD  si M, N, P, Q  punctele

de tangenta ( M  ∈ AB,  N  ∈ BC, P ∈ CD,   Q ∈ AD).

Evident, M si P sunt mijloacele bazelor.  

Notam MA=MB = AB/2 = x  si  PC=PD = CD/2=y

Linia mijlocie este :   a = (AB+CD)/2  = AB/2+CD/2= x + y, adica :

x + y = a    (1)

Vom aplica proprietatea tangentelor la cerc duse dintr-un punct exterior . 

AQ=AM=x   si DQ = DP = y

Latura laterala AD se calculeaza: 

AD = AQ + DQ = x + y  ⇒ AD = x + y    (2)

Din relatiile  (1),  (2) ⇒ AD = a.

Perimetrul trapezului se determina imediat:

BC = AD = a

AB + CD =2x+2y = 2(x+y) = 2a

Perimetrul este: AB + CD + BC + AD = 2a + a + a = 4a