URGENT: ofer 20 puncte si coroana!
In cubul ABCDA'B'C'D'
, aria triunghiului DOB este egala cu √3 cm patra
, unde {O} =
BC' ∩ B'C.
a) Aratati ca aria triunghiului ABC’ este 2 √3 cm.
b) Aratati ca AB = 2 cm.
c) Calculati valoarea cosinusului unghiului dintre dreptele DO si A'B.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ΔDBC' echilateral, Aria(ΔDBC')=2·Aria(ΔDOB)=2√3
DAr Aria(ΔDBC')=(DB²·√3)/4=2√3, Deci DB²=8, ⇒DB=√8=2√2.
DAr DB este diagonala patratului ABCD, DB=AB·√2
Deci AB·√2=2√2, deci AB=2.
ΔABC' este dreptunghic, deoarece AB⊥(BCC'), atunci
Aria(ΔABC')=(1/2)·AB·BC'=(1/2)·2·2√3=2√3
c) A'B║D'C,
CC''=C'C (fezi figura 2), DC''║D'C, deci A'B║DC'',
atunci ∡(DO,A'B)=∡(DO,DC'').
Aflam laturile ΔDOC''. DC''=2√2
ΔDOC este dreptunghic in C. DC=2, CO=CB':2=√2.
Atunci DO²=DC²+CO²=2²+(√2)²=4+2=6. Deco DO=√6
Fie E mijlocul lui CC', atunci OE=B'C':2=1. OE⊥CC'. Din ΔC''OE, avem
C''E=3, OE=1. T.P. ⇒C''O²=C''E²+OE²=3²+1²=9+1=10, deci C''O=√10.
Atunci in ΔDOC'', dupa Teorema cosinus avem:
cos(∡(ODC''))=(C''O²-DO²-C''D²)/(2·DO·C''D)=
=((√10)²-(√6)²-(√2)²)/(2·√6·√2)=(10-6-2)/(2·√12)=2/(2·2√3)=1/(2√3)=√3 /6.
