Question

Va implor!!!Dau 70 de puncte si coroana!!!
1)Gasiti valoarea de adevar a propozitiei:numarul a=1986¹⁹⁸⁶+1987¹⁹⁸⁷+1988¹⁹⁸⁸ este divizibil cu 5.
2)Stabiliti care din numerele : n₁=1-2·6 la puterea k+2·6 la puterea 2k si n₂=1+2·6 la puterea k+2·6 la puterea 2k, k∈N,este divizibil cu 5
3)Sa se arate ca A=2³·3³ⁿ⁺¹ +7·3³ⁿ se divide cu 31,oricare ar fi n∈N.
4)Aratati ca nr n=2·3ⁿ⁺¹+3·3ⁿ⁺⁵ +3⁴·3ⁿ⁻³ se divide cu 41,oricare ar fi n∈N.

Answer 1

1)Uc(a)=Uc(1986¹⁹⁸⁶)+Uc(1987¹⁹⁸⁷)+Uc(1988¹⁹⁸⁸)=6+3+6=15  deci div.cu 5
Uc(1986¹⁹⁸⁶)=Uc(6¹⁹⁸⁷)=6
Uc(1987¹⁹⁸⁷)=Uc(7¹⁹⁸⁷)=Uc(7⁴ˣ⁴⁹⁶⁺³)=Uc(7³)=3
Uc(1988¹⁹⁸⁸)=Uc(8¹⁹⁸⁸)=Uc(8⁴ˣ⁴⁹⁷)=Uc(8⁴)=6

2.
n₁=1-2·6^k+2·6^2k 
Uc(1-2·6^k+2·6^2k )=1-2×Uc(6^k)+2Uc(6^2k) =1-2×6+2×6)=1 nu e div cu 5
n₂=1+2·6^k+2·6^2k
Uc(1+2·6^k+2·6^2k )=1-Uc(2×6^k)+Uc(2×6^2k) =1+2+2=5 e div cu 5

3. A=2³·3³ⁿ⁺¹ +7·3³ⁿ =3³ⁿ(2³×3+7)=3³ⁿ(24+7)=3³ⁿ×31 deci div. cu 31

4. n=2·3ⁿ⁺¹+3·3ⁿ⁺⁵ +3⁴·3ⁿ⁻³ =2·3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺⁶ +3ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹×(2+3⁵+1)=3ⁿ⁺¹×(3+3⁵)
=3ⁿ⁺²×(1+3⁴)=3ⁿ⁺²×(1+81)=3ⁿ⁺²×82=3ⁿ⁺²×2×41 deci div. cu 41