Question

Va propun urmatoarul rationament, voi cautati daca are vreo greseala.
Vrem sa calculam urmatoarea suma:
$\sum\limits^\infty_{k=1}k;\ k \in N$
Adica:
$S=1+2+3+......$
Este suma tuturor numerelor naturale. Am fi tentati sa zicem ca aceasta suma tinde la infinit.
Dar ca sa fim siguri, vom face urmatoarele artificii.
Vom lua in considerare urmatoarele 3 sume:
$S=1+2+3+............. \\ S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1.......... \\ S_2=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10...............$

Pentru a calcula prima suma, vom calcula 1-S₁ si obtinem:

$1-S_1=1-(1+1-1+1-1+1-1+1-1................... \\ Desfacem\ paranteza\ si\ avem: \\ 1-S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1..................=S_1 \\ Deci\ 1-S_1=S_1 \\ S_1= \frac{1}{2}$
Rezultatul pare sa fie usor de acceptat, daca adunam si scadem 1, ar parea ca ajungem undeva pe la jumatate.

Pentru a calcula a doua suma, S₂, vom face urmatorul artificiu: Vom calcula 2S₂ numai ca le vom scrie unele sub altele, iar pe a doua o "decalam cu un termen la dreapta" (avem voie, sunt o infinitate de termeni) adica:

$2S_2=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10............. \\ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10........... \\ =1-1+1-1+1-1+1-1..............=S_1= \frac{1}{2}$
Deci
$2S_2= \frac{1}{2} \\ S_2= \frac{1}{4}$

Acum vom calcula suma initiala astfel: Din S scadem pe S₂ si obtinem:
$S-S_2=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14.... \\ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14.... \\ S-S_2=4+8+12+16+20+24+28+32+36+......... \\ S-S_2=4(1+2+3+4+5+...... \\ S-S_2=4S \\ -S_2=3S \\ S= \frac{-S_2}{3}=- \frac{1}{12}$

Concluzie:
$1+2+3+4+5+...............= -\frac{1}{12}$

Answer 1

   
$\text{Aceasta demonstratie face parte din categoria: } \\ PARADOXURI\;\;MATEMATICE \\ \\ \text{In demonstratie se strecoara intentionat, o greseala, bine ascunsa, } \\ \text{care conduce la un "adevar" care nu este adevar.}$

$Propun\; si\; eu\; un\; exemplu: \\ \\ a=b \\ a^2=ab \\ a^2+a^2=a^2+ab \\2a^2=a^2+ab \\ 2a^2-2ab=a^2+ab-2ab \\ 2a^2-2ab=a^2-ab \\ 2(a^2-ab)=1(a^2-ab) \\ 2=1$

$\text{Putem sa ne spargem creierii sa gasim "cheia" dar} \\ \text{ stricam frumusetea acestor probleme}$

Answer 2

 Stim ca adunarea este operatia prin care unei perechi de numere reale ii corespunde un numar real numit suma celor doua numere reale. Stim ca pornind de la aceasta definitie putem defini suma a 3 numere reale, a patru numere reale, si din aproape in aproape putem defini suma a n numere reale, unde n este un numar oricat de mare. Astfel, putem defini suma oricator numere reale, dar "a oricator" insemnand un numar finit. 
Stim ca scaderea este de asemena o adunare si deci in S1 avem o succesiune de adunari
Operatia de adunare a unei infinitati de numere reale nu este definita. In consecinta nu putem afirma ca S1 este un numar.
Putem sa consideram sirul:
[tex](x_n)_n: 1,-1,1,-1,1,.....\\ \text{ si }\\ s_n=\sum\limits^n_1x_i\\ \text{Am putea spune ca $S_1$ ar fi limita seriei $(s_n)$}.\\ \text{Dar cum $(x_n)$ este divergent, cu atat mai mult $(s_n)$ este divergenta,deci nu are limita.}\\ \text{Iata o demonstratie analitica a faptului ca $S_1$ nu este }\\ [/tex] definit ca numar.
DEci e o greseala sa zicem ca S1 este un numar, sau sa il inlocuim in operatii cum ar fi:
1-S1=S1.