Question

va rog ajutati-ma c) si d) Determinati ultima cifra

Answer 1

$c)~1+3+3^2+...+3^{42}=\frac{3^{43}-1}{2}$
$u(3^{43})=u(3^3)=7$
$u(3^{43}-1)=6$
$u\Big(\frac{3^{43}-1}{2}\Big)\in\{3,8\}$

$d)~8+8^2+...+8^{88}=\frac{8^{89}-8}{7}$
$u(8^{89})=u(8^1)=8$
$u(8^{89}-8)=0$
$u\Big(\frac{8^{89}-8}{7}\Big)=0$

Answer 2

c) 11^50-11^50=0
d) 2^35-2^35=0 ;
nu e nici o determinare de ultima cifra; dar daca se cere numarul fiind 0, uultima sa cifra este singura cifra, si anume 0


sau tu vrei la exercitiulde sus
  vom nota cu U(n) =ultima cifra a numarului n
si U2C(n) ultimerle 2 cifre ale numarului n
atuncila d) numarul este
8(1+8+ 8²+...+8^87)=8*(8^88-1)/7....

puterile lui 8 se repeta din 4 si patru
 dupa secventa
8,4,2,6...
la numarator vom aveau U (8*U(6-1))=U(8*5)=U(40)=0
numaratorul se va divide cu numitorul pt ca este o suma de numere naturale...deci impartirea cu 7 se va termina inaintede ultima cifra, 0,  pt ca nici o pereche de numere a0 nu se divide cu 7 decat daca este 70,  dar 7 nu poate fi un rest al imparirii cu 7... inseamna ca U (numarul cerut)=0



la c)
1+3+3²+...3^42=(3^43-1)/(3-1)= (3^43-1)/2
U(3^43)=U(3³)=7
ptv ca U(3^n)se repeta din 4 in 4  numere cu secventa 3,9,7,1
U(3^43-1)=u(7-1)=6
U((3^43-1)/2)=6/2=3

dar nu suntem siguride acest raspuns decat daca ultimele 2 cifre ale lui 3^43 sunt 07;27;37;47;57....... sau 97
daca insa ultimele 2 cifre sunt 17, atunci ultima cifra a lui U(3^43-1)/2 ar fi U((17-1)/2)=U(16/2)=8
asa ca trebuiesa verificam U2C adica repetarea ultimelor 2 cifre

am facut in atasament , am observat ca U2C se retyeat dfin 20 in 20de numere si U2C(3^43)=U2C(3³)=27 ceea ce inseamnaca U2C(3^43-1)=26 si atunci U2C((3^43-1)/2)=13 si UC (acest numar)=3


obs
pe atasament am scris in ultima  relatie Uc(n) in locde U(n)