Question

va rog ajutati-ma cu aceasta cerinta: f:R->R,f(x)=(x^2-3)/e^x .Aratati ca f(x)>-6 oricare ar fi x apartinand lui R.

Answer 1

f:R->R, f(x)=(x^2-3)/e^x.

f'(x)=(2x*e^x-(x^2-3)e^x)/e^(2x)=(2x-x^2+3)/e^x=-(x^2-2x-3)/e^x=-(x+1)(x-3)/e^x, oricare ar fi x apartine R.

Deci f'(x)=0 <=> x=-1 sau x=3.

Deducem ca:
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (-inf,-1).
f'(x)>=0, oricare ar fi x apartine [-1,3] (cu egalitate daca si numai daca x=-1 sau x=3).
f'(x)<0, oricare ar fi x apartine (3,+inf).

Adica f este strict descrescatoare pe (-inf,-1)U(3,+inf) si strict crescatoare pe [-1,3].

Deci f(x)>=min{L,f(-1)}, unde L=lim(x->+inf) din f(x).
L=0, iar f(-1)=-2/e^(-1)=-2e, deci min{L,f(-1)}=-2e.

Deci obtinem ca f(x)>=-2e, oricare ar fi x apartine R.

Cum -2e>-6, deducem ca f(x)>-6, oricare ar fi x apartine R. Q.E.D