Matematică, întrebare adresată de august08, 8 ani în urmă

Va rog ajutati-ma la cele doua limite macar cu o indicatie.

Anexe:

Rayzen: la a doua raspunsul e (a-b)

august08: a-b simplu fara altceva?

Rayzen: da

Rayzen: m-am uitat pe grafic

august08: a bine multumesc mult!!

Rayzen: Stii sa il faci pe al doilea?

Rayzen: Uite o sugestie,
Notezi lnx = t => x = e^t => t -> 0 si vine ((e^t)^(e^t)^a - (e^t)^(e^t)^b)/(t^2) = (e^(te^(ta)) - e^(te^(tb)))/t^2

Si aplici L'hopital de 2 ori.

Rayzen: derivezi mult dar iese a-b

august08: asa am facut si eu fara sa notez. cred ca am gresit undeva totusi multumesc!!

Rayzen: cp

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$\lim\limits_{x\to \infty} \Big(\ln(e^x+2^x)-\sqrt{x^2-4x+1}\Big) = \\ \\ = \lim\limits_{x\to \infty} \Big(\ln \big(e^x(1+\frac{2^x}{e^x})\big)-\sqrt{x^2-4x+1}\Big) = \\ \\ = \lim\limits_{x\to \infty} \Big(\ln e^x+\ln (1+\ffrac{2^x}{e^x})-\sqrt{x^2-4x+1}\Big) = \\ \\ = \lim\limits_{x\to \infty}\Big(x\ln e+\ln (1+\frac{2^x}{e^x})-\sqrt{x^2-4x+1}\Big)=$

$= \lim\limits_{x\to 0}\Big(x-\sqrt{x^2-4x+1}\Big) +\lim\limits_{x\to \infty} \Big(\ln(1+\frac{2^x}{e^x})\Big)\\ \\ \lim\limits_{x\to \infty}{\frac{2^x}{e^x}} = \lim\limits_{x\to \infty}{{(\frac{2}{e})}^x}=0,\quad \frac{2}{e} < 1\ \\ =\lim\limits_{x\to\infty}\Big(x-\sqrt{x^2-4x+1}\Big) +0 = \\ \\ =\lim\limits_{x\to\infty}\Big(x-\sqrt{x^2-4x+1}\Big)= \\ \\ = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-(x^2-4x+1)}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}=\\ \\$