Question

va rog ajutati ma <:(( e urgent
exercitiile 14 si 16 ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

14. Ai în atașament o figură reprezentativă pentru problemă. (Figura 1)

a) Trebuie să demonstrăm că AE=2CM. O idee ar fi să aplicăm asemănarea între ΔBMC și ΔBAE. Aceasta este justificată de prezența unghiului comun: ∡CMB=∡EBA, dar și de congruența altor 2 unghiuri, ∡CMB=∡EAB, cea din urmă justificându-se datorită faptului că AE║CM, adică cele două formează același unghi cu dreapta AB. Aplicând cazul de asemănare unghi-unghi(UU), obținem asemănarea celor 2 triunghiuri, din care rezultă următoarele rapoarte: $\frac{BC}{BE}=\frac{BM}{BA} =\frac{MC}{AE}$. Seria de rapoarte care interesează pentru problemă este $\frac{BM}{BA}=\frac{MC}{AE}$. Cunoaștem că CM este mediană în ΔABC,  ceea ce înseamnă că AM=BM=$\frac{AB}{2}$. Atunci, fracția $\frac{BM}{BA}$ devine $\frac{1}{2}$ (se înlocuiește BM cu $\frac{AB}{2}$, se simplifică AB cu AB și 2 trece la numitor) și obținem că $\frac{1}{2} =\frac{MC}{AE}$, de unde rezultă că AE=2MC.

b) Trebuie să demonstrăm că ABDE e paralelogram. Cunoaștem de la subpunctul trecut că AE=2MC, pentru că am aplicat asemănarea în ΔBCM și ΔBEA. De data aceasta, vom aplica asemănarea între ΔACM și ΔADB. Avem unghiul comun: ∡CAM=∡DAB și unghiurile congruente ∡AMC=∡ABD, datorită faptului că CM║DB. Folosind cazul de asemănare unghi-unghi(UU), obținem rapoartele necesare: $\frac{AM}{AB}=\frac{CM}{DB}$. Înlocuind AM cu $\frac{AB}{2}$, obținem că $\frac{1}{2} = \frac{CM}{DB}$, de unde rezultă că DB=2CM. Dar și AE=2CM. Din acestea rezultă că DB=AE. Știm că AE║CM și că DB║CM, de unde rezultă că AE║DB. Atunci AE și DB sunt paralele și congruente, de unde rezultă că ABDE este paralelogram.

16. Ai în atașament o figură reprezentativă pentru problemă. (Figura 2)

a) Trebuie să aflăm lungimea medianei din A. Să notăm intersecția acestei mediane cu latura BC cu N. Știm că centrul de greutate al unui triunghi se află la $\frac{2}{3}$ de vârfurile triunghiului și la $\frac{1}{3}$ de baze(laturile opuse fiecărui vârf). Atunci AG=8cm=$\frac{2}{3}$AN, de unde rezultă că AN=12cm.

b) Cunoaștem că BM este mediană și este egală cu 12 cm. Știm că GM=$\frac{1}{3}$BM, adică GM=4cm.

c) Să notăm mijlocul laturii AB cu P. Știm că AN+BM+CP=18cm și trebuie să aflăm suma GA+GB+GC. Știm că GA=$\frac{2}{3}$AN, GB=$\frac{2}{3}$BM și GC=$\frac{2}{3}$CP și, dând factor comun, obținem că GA+GB+GC=$\frac{2}{3}$(AN+BM+CP)=$\frac{2}{3}$×18=12cm.