Question

Va rog ajutati-ma sa demonstrez egalitatea. Nu-mi dau seama cum se face... 
[√1]+[√2]+...+[√(n²-n)]=n(n-1)(4n+1)/6   ,n≥2

Multumesc anticipat! :)

Answer 1

Rezultatul sumei nu este corect.
Pentru $n=2$ se obține suma $\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]=2$, dar înlocuind în dreapta se obține 3.
La fel dacă n=3 se obțin rezultate diferite.
Dar să calculăm totuși suma.
Avem $\left[\sqrt{m}\right]=k\Leftrightarrow k\le \sqrt{m}<k+1\Leftrightarrow k^2\le m<(k+1)^2$.
Deci:
$\left[\sqrt{m}\right]=1\Rightarrow 1\le m<4$
$\left[\sqrt{m}\right]=2\Rightarrow 4\le m<9$
.......................................................................
$\left{\sqrt{m}=n-2\Rightarrow (n-2)^2\le m<(n-1)^2$
Avem $(n-1)^2<n(n-1)<n^2$, deci pentru numerele de la $(n-1)^2$ la $n^2-n$ partea întreagă a radicalului este $n-1$.

Atunci suma este
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}k\left[(k+1)^2-k^2\right]+(n-1)\left(n^2-n-(n-1)^2+1\right)=\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}(2k^2+k)+n(n-1)=\\=2\cdot\displaystyle\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}+\frac{(n-2)(n-1)}{2}+n(n-1)=\\=\displaystyle\frac{(n-1)(4n^2-5n+6)}{6}$