Question

Va rog cine poate sa ma ajute, cu tot cu explicatii, multumesc! 40puncte (politehnica elemente de analiza matematica)

Answer 1

La AM 1 ma gandesc ca te descurci.Am sa ti-l fac pe AM2.

[tex]\lim_{x\to\infty}x^4\left(e^{\frac{1}{x^2+1}}-e^{\frac{1}{x^2}\right)=\\ \text{In prima faza il dam factor fortat pe}\ e^{\frac{1}{x^2}}:\\ \lim_{x\to\infty}x^4\cdot e^{\frac{1}{x^2}}\left(e^{\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2}}-1\right)=\\ \lim_{x\to\infty}x^4\cdot e^{\frac{1}{x^2}}\left(e^{\frac{-1}{x^2(x^2+1)}}-1\right)=\\ \text{Folosim limita fundamentala:}\ \lim_{x\to\infty}\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a\\,daca\ lim_{x\to \infty}f(x)=0. \text{Deci vom avea:}\\ [/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty}x^4\cdot e^{\frac{1}{x^2}}\cdot \frac{-1}{x^2(x^2+1)}\cdot \dfrac{e^{\frac{-1}{x^2(x^2+1)}}-1}{\frac{-1}{x^2(x^2+1)}}}=\\ \lim_{x\to\infty} \dfrac{-x^4}{x^4+x^2}\cdot e^{\frac{1}{x^2}}\cdot \ln e=\boxed{-1} [/tex]

Answer 2

Salut,

AM 3:

$\dfrac{x}4-1<\left[\dfrac{x}4\right]\leqslant\dfrac{x}4\ \bigg{|}:x,\ deci\ \dfrac{\dfrac{x}4-1}x<\dfrac{\left[\dfrac{x}4\right]}x\leqslant\dfrac{\dfrac{x}4}x,\ sau\ \dfrac{x-4}{4x}<\dfrac{\left[\dfrac{x}4\right]}x\leqslant\dfrac{1}4.$

Fracția din partea stângă tinde la 1/4, la fel pentru fracția 1/4 din partea dreaptă, deci conform criteriului cleștelui, limita este 1/4.

Simplu, nu ?

La AM 4, îți ofer o soluție rapidă și scurtă: când x tinde la infinit e^x (e la puterea x) + 1 are aproximativ valoarea lui e^x. Cu alte cuvinte, când x ia o valoare uriașă (de exemplu, 1 miliard), e la puterea 1 miliard este un număr fabulos de mare, deci acel 1 chiar nu prea contează. E ca și cum o muscă se așează pe un elefant, masa elefant + muscă crește nesemnificativ :-).

Limita devine lim[x² -- x*ln(e^x)] = lim(x² -- x*x*lne) = lim(x² -- x²) = 0.

Green eyes.