Question

VA ROG DACA PUTETI SA MA AJUTATI SI PE MINE! !
Exercitiile 27 , 28......Nu conteaza daca nu sunt amandoua .....cel putin unu sa fie.....☺☺☺☺☺

Answer 1

   
[tex]\displaystyle 27)\\ x^2-3x+m=0\\ \text{Se cere:}\\ m = ? ~\text{astfel incat solutiile ecuatiei sa fie inverse una alteia.}\\ \text{Explicatii: }\\\\ \text{Inversul numarului}~a~\text{este numarul: }\frac{1}{a}~\text{ si reciproc.}\\\\ \text{Inversul numarului}~\frac{a}{b}~\text{ este numarul: }\frac{b}{a}~ \text{si reciproc.}\\\\ \text{Produsul dintre un numar si inversul sau este egal cu 1. Exemple:}\\\\ a\times\frac{1}{a}=\frac{a}{a}=1\\\\ \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}=1[/tex]


[tex]\displaystyle \text{Rezolvare:} \\ x^2-3x+m=0 \\ \text{Scriem ecuatia sub forma urmatoare:}\\ x^2-Sx+P=0 \\ \text{Unde: S = suma solutiilor si P = produsul solutiilor.} \\ \text{P este parametrul "m" din ecuatia data.} \\ \Longrightarrow~~m = x_1 \cdot x_2 \\ \Longrightarrow~~m = 1 ~~\text{deoarece }x_1 ~si ~x_2 \text{ sunt inverse intre ele.} \\ \\ \Longrightarrow~~ecuatia: \\ \\ x^2-3x+1=0 \\ \\ x_{12}= \frac{3\pm \sqrt{9 -4} }{2} = \frac{3\pm \sqrt{5} }{2} [/tex]


[tex]\displaystyle \\ x_1 = \frac{3 + \sqrt{5} }{2} \\ \\ x_2 = \frac{3 - \sqrt{5} }{2} \\ \\ \text{Verificam daca produsul solutiilor = 1:} \\ \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{3 + \sqrt{5} }{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{5} }{2} = \\ \\ =\frac{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5} ) }{2\cdot 2} =\frac{3^2 - \sqrt{5}^2}{4} =\frac{9 - 5}{4} =\frac{4}{4} =1 [/tex]


[tex]\displaystyle \text{Verificam daca: } x_2 = \frac{1}{x_1} \\ \\ \frac{1}{x_1} = \frac{1}{\frac{3 + \sqrt{5} }{2} } = \frac{2}{3 + \sqrt{5}} = ~~\text{(Rationalizam numitorul.)} \\ \\ =\frac{2(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9- 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = x_2[/tex]


[tex]28)\\x^2 -3x +m =0 \\ \\ \text{Stim de la problema precedenta ca "m" este produsul solutiilor.} \\ \\ \text{Daca solutiile au semne diferite, atunci produsul lor este negativ.} \\ \\ \Longrightarrow~~\boxed{m \ \textless \ 0 } [/tex]