Question

Vă rog !!! Dau coroana !!!​

Answer 1

Răspuns:

buna, sper că te am ajutat!!

Answer 2

Explicație pas cu pas:

a)

$n = 1 \iff x_2 = x_1 + 1 = 1 + 1$

$n = 2 \iff x_3 = x_2 + 2 = 1 + (1 + 2)$

$n = 3 \iff x_4 = x_3 + 3 = 1 + (1 + 2 + 3)$

...

$x_k = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + (k - 1)) = 1 + \dfrac{(k - 1)k}{2} = \dfrac{ {k}^{2} - k + 2}{2}$

presupunem P(k) adevărată și demonstrăm pentru P(k+1):

$x_{k + 1} = x_{k} + k = \dfrac{ {k}^{2} - k + 2}{2} + k = \dfrac{ {k}^{2} + k + 2}{2} = \\ = \dfrac{ {(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 2}{2}$

P(k+1) este adevărată => P(n) adevărată, n ≥ 1

$\boxed {x_n = \dfrac{ {n}^{2} - n + 2}{2}}$

b)

$n = 1 \iff x_2 = x_1 + 2 \cdot 1 + 2= 3 + 2 \cdot 1 + 2$

$n = 2 \iff x_3 = x_2 + 2 \cdot 2 + 2= 3 + 2 \cdot (1 + 2) + 2 \cdot 2$

$n = 3 \iff x_4 = x_3 + 2 \cdot 3 + 2= 3 + 2 \cdot (1 + 2 + 3) + 2 \cdot 3$

...

$x_k = 3 + 2 \cdot (1 + 2 + (k - 1)) + 2 \cdot (k - 1) = \\ = 3 + 2 \cdot \dfrac{(k - 1)k}{2} + 2k - 2 = {k}^{2} + k + 1$

presupunem P(k) adevărată și demonstrăm pentru P(k+1):

$x_{k + 1} = x_{k} + 2 \cdot k + 2 = {k}^{2} + k + 1 + 2k + 2 = \\ = {k}^{2} + 3k + 3 = {(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1$

P(k+1) este adevărată => P(n) adevărată, n ≥ 1

$\boxed {x_n = {n}^{2} + n + 1}$