Question

VA ROG FRUMOS DAU COROANA in cate moduri un cumparator poate sa alega 3 cd-uri diferite cu jocuri din cele 8 CD-uri diferite propuse de vinzator ...............IN CITE MODURI UN ANTRENOR POATE FORMA o echipa de volei compusa din 6 jucatori daca in total sunt 16 jucatori?

Answer 1

Sa zicem ca CD-urile noastre sunt numerotate de la 1 la 8:
1, 2, 3, ..., 8

Cumparatorul nostru poate alege oricare 3 dintre aceste CD-uri. Va trebui sa vedem toate modalitatile de a alege. Putem avea, de exemplu:

154 - Asta inseamna ca a ales CD-urile cu numerele 1, 5 si 4
241 - A ales CD-urile de pe pozitiile 1, 2 si 4
415 - A ales CD-urile de pe pozitiile 4, 1 si 5  -  Se observa aici, ca este acelasi lucru cu 154, deci va trebui sa nu tinem cont de ordine.

Astfel, 278 este acelasi lucru cu 287, 728, 782, 872, 827.

Dar hai sa zicem ca nu este asa, si vom considera toate aceste grupe diferite intre ele.
Mai intai vom presupune ca 154 nu este acelasi lucru cu 415, asadar, va conta ordinea in care alege CD-urile.

Acum, ne punem intrebarea: "Cate CD-uri pot fi alese pe prima pozitie?" Avem 8 CD-uri la dispozitie, asa ca sunt 8 posibilitati. Vom nota CD-ul pe care l-am ales cu a:

a__     (8 posibilitati pentru a)
Acum mai trebuie sa alegem CD-uri pentru celelalte 2 pozitii.
Pentru ca am luat deja un CD, ne raman 7, asadar, pentru a doua pozitie vom avea 7 posibilitati.

ab_  (7 posibilitati pentru b) 
Pentru fiecare din cele 8 posibilitati de alegere pentru a, vom avea 7 posibilitati de alegere pentru b, deci numarul de posibilitati de a alege pe a si b la un loc este 8 * 7 = 56

ab_ (56 posibilitati pentru ab)

Ne-a mai ultima pozitie, pentru care aplicam aceeasi metoda. Ne raman 6 CD-uri, prin urmare, vor 6 posibilitati de alegere pentru c.

Pentru fiecare grupa ab (cele 56) avem 6 posibilitati pentru c, asadar, numarul total de posibilitati este 56 * 6 = 336

abc (8*7*6 posibilitati de a alege discurile)

Am aflat ca sunt 336 de posibilitati de a alege 3 discuri. Dar asta in cazul in care tinem cont de ordinea in care le alegem. Toate posibilitatile arata cam asa:

123
124
...
129
132
134
...
139
...
192
...
199
213
214
...
912
913
...
998
999

Noi trebuie sa eliminam numerele care care au aceleasi cifre(de ex. 123, 132 si 213).
Acum, ne punem urmatoarea intrebare: "Daca avem un numar abc, in cate moduri putem amesteca cifrele lui pentru a obtine numere diferite?".
Avem:
abc
acb
bac
bca
cba
cab
Sunt 6 moduri.
Astfel, in multimea noastra, fiecare grupa se repeta de 6 ori. Pentru a afla numarul de solutii unice, va trebui sa impartim la 6 numarul total.

336 : 6 = 56

Sunt 56 de grupe abc, pentru care nu conteaza ordinea cifrelor.
Asadar, sunt 56 de moduri de a alege 3 CD-uri din cele 8.


Calculul total: (8*6*7) / 6


Problema a doua:

Dupa cum ai vazut la prima problema, am inmultit cu 8, apoi cu 7, si tot asa.
Aici vom face la fel:

Numarul de grupe ORDONATE este 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 (Deoarece sunt 6 jucatori ce trebuie alesi, vor fi 6 termeni)

Numarul de posibilitati de a amesteca o grupa de 6:  6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

O impartim pe prima la a doua: 8008