Question

Va rog frumos sa ma ajutati cu aceste exercitii cu principiul inductiei matematice. ca nu am inteles cum sa le fac.

(DAU COROANA)


a) 2*3 + 3*8+....+n(n^2 - 1)= n(n+1) (n^2 + n -2) / 4


b) 1*2*3 + 3*4*5+....+(2n -1)2n(2n+1)= n(n+1) (2n^2 +2n-1)


c) 1*1,(3)*2 + 2*2,(3)*3 +...+n( n+1/3) (n+1) =1/36n(n+1)( 9n^2+25n+14)


d) 1*1,25*2+ 2*2,25*3+....+n(n+1/4)(n+1) =1/12n(n+1)( 3n^2+8n+4)


e) 1^4 +2^4+3^4+...+n^4= n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n +1) /30

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Metoda inductiei matematice consta in urmatoarele:

O propozitie (afirmatie) oarecare P(n), ce depinde de un numar natural n, este adevarata pentru orice n natural, daca:  

P(1) este o propozitie (afirmatie) adevarata, (1) fiind rangul termenului;

P(n) ramane o propozitie (afirmatie) adevarata, cand n se majoreaza cu o unitate, adica P(n + 1) ramane adevarata.

Exemplu pentru  a) [ rangul termenilor este r=n-1 ]

Avem propozitia :  P(n) =n(n+1)(n^2+n-2)/4

Aplicam pentru P(1) sau mai bine pentru P(2) (n=rang+1, in acest caz, n=2+1=3))

2*3+3*8 = 30  P(2)= 3(3+1)(3^2+3-2)/4= 3*4+(10/4) = 30

acum aplicam pentru P(2+1)   n=4 :

avem: 2*3+3*8+4*15 = 90 P(2+1)= 4(4+1)(4^1+4-2)/4 = 4*5*18/4=90

Afirmatia ramane adevarata deci este corect

b)   P(n)= n(n+1)(2n^2+2n-1) verificam pentru P (1)  r=n

1*2*3=6  P(1)= 1*2*(2*1^2+2*1-1)= 2*3=6  acum  ptr P(1+1): n=2

1*2*3+3*4*5=66  P(2)=2*3*(2*2^2+2*2-1) =6*11=66

Afirmatia ramane adevarata deci este corect

c) P(n) = 1/36n(n+1)(9n^2+25n+14)  P(1)  r=n

1*1.(3)*2 = 2.(6)   P(1) =1/36*1*2*(9+25+14)=1/18*48=2.(6)

 1*1.(3)*2+2*2.(3)*3= 16.(6) P(1+1)= 1/36*2*3*(9*4+25*2+14)=6*100/36=16.(6)

Afirmatia ramane adevarata deci este corect

Te rog continua tu