Question

Vă rog frumos să mă ajutați! Urgent!​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$x \: o \: y = (x + 1)(y + 1) - 1$

1. Parte stabila

x > -1 rezultă x+1>0

Analog y+1>0

rezultă produsul lor >0

rezultă (produsul respectiv)-1 este >-1

Deci pt orice x și y din M, adică din (-1, inf) rezultă că și rezultatul x o y este din M.

2. Asociativitatea:

x o (y o z) = (x+1)(y o z+1)-1 = (x+1)[(y+1)(z+1)-1+1]-1 =

(x+1)(y+1)(z+1)-1

Analog se va obține același rezultat pentru

(x o y) o z

3. Elementul neutru

In primul rand observăm că, daca inversăm x cu y, legea nu se modifică pt că adunarea și înmulțirea sunt comutative. Așadar legea o este comutativă.

Deci este suficient sa rezolvăm

x o e =x pentru orice x din M

(x+1)(e+1)-1=x

(x+1)(e+1)-(x+1)=0

(x+1)(e+1-1)=0

(x+1)*e=0 pentru orice x din M

Deci acelmprodus trebuie sa fie 0 orice valoare ai da lui X. Prin urmare din acelmprodus, e trebuie sa fie obligatoriu 0.

Cum 0 este in M, adică în (-1, inf) înseamnă că este corect și elementul neutru există și este e=0

4. Elementele inversabile

La fel, datorita comutativității, este suficient sa rezolvăm

x o x'= 0 (adică elementul neutru)

(x+1)(x'+1)-1=0

(x+1)(x'+1)=1

x'+1=1/(x+1)

x'= -1+1/(x+1)

Acum sa vedem niste concluzii.

Știm că X este mai mare decât -1, prin urmare, x+1 este mai mare decât 0, și, totodată, numitorul este diferit de zero. Deci acea fracție este bine definita și este mereu pozitivă. Cum x' este -1 plus acea fracție pozitivă, rezultă că x' este mai mare decât -1 deci aparține mereu lui M.

Prin urmare x' este mereu bine definit și exista în M pentru orice x din M.

Așadar toate elementele lui M sunt inversabile.

Deci (M, o) este grup. Chiar abelian.

La exercițiile de acest gen, se.observa simetria și se face o descompunere in care x și y să apară oarecum despărțite, sub aceeași formă.

In acest fel, daca observi

x o x o...o x de n ori este

(X+1)^n - 1

Bine....la BAC sau alte examene o sa va dea pe subpuncte să arătați că legea de compoziție este echivalentă cu acea formă, apoi o să folosiți acea formă pentru a arăta diverse lucruri, inclusiv daca e grup, și chiar sa rezolvați ecuații de forma

x o x o...o x de n ori=ceva

Încearcă te rog sa faci singur pct c

te ajut cu forma

x o y= (x-10)(y-10)+10

Procedezi analog și atenție la calcule

Chiar pot sa completez cu o întrebare, și anume, care este Mulțimea minima la acel punct. Daca observi, la punctul explicat aici M era (-1, inf). La pct c mulțimea este tot R, dar poate fi mai mică.