Question

Va rog..m-am chinuit si nu pot sa inteleg daca e parte intreaga sau doar suma : Fie p > 2 un numar prim si q un numar natural nedivizibil cu p.Sa se arate ca:
$\sum^{ p-1}_{k=1} [(-1)^k\cdot~k^2\cdot~\frac{q}{p}]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.$

Answer 1

a1, a2, a3, a4, an, a6, a7, a8, a9, a10,a11,a12, a13, a14, a15, ...............anAvem relatiaan · an+2 · an+3 = -1 deci an+3=-1/(an · an+2)ptr. n=1  a4=-1/(a1 · a3)cum aven nr. din Z singurele numere ce pot fi solutii sunt date de(a1 · a3)=+/-1 deci deja 2 posibile siruri        a.  a1=1, a3=-1, deci a4=1....       b. a1=-1, a3=1, deci a4=-1....Dezvoltam punctul aCalculam pe urmatorula5=-1/(a2 · a3)=-1/[(a2*(-1)]=1/a2din aceleasi considerente ca numerele sa fie intregi, gasim doar 2 variante ptr a2=+/-1avem acum  subvariantele      a1.1 ce porneste cu a1=1, a2=+1, a3= -1, a4=1      a1.2 ce porneste cu a1=1, a2=-1, a3= -1, a4= -1      b1.1 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4=1      b1.2 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4= -1       Dezvoltam varianta a.1. cu    a1=1, a2=+1, a3=-1, a4=1, mergand cu calculele si am obtinut sirul1,1,-1,   1,-1,-1, 1,1,1,-1,     1,-1,-1, 1,1,1,-1,    1,-1,-1, 1,1,1,-1,..... la care se observa periodicitatea 7astfel putem scrie incepand cu        a4=a(4+7)=a(4+14)= a(4+n*7)       a5=a(5+7)=a(5+14)= a(5+n*7)       a6=a(6+7)=a(6+14)= a(6+n*7)       a5=a(7+7)=a(7+14)= a(7+n*7)        etc        a10=a(10+7)=a(10+14)= a(10+n*7)iar de la a11=a4Cu alte cuvinte avem termen general sub forma a 7 relatii: n de forma 7k+1 an=a7=1, n de forma 7k+2, an=a8=1etcn de forma 7k+6, an=a13=-11La fel se judeca si celelalte 3 variante 2.2, 1.2, 1.3
Exercitiul al doilea se rezolva asemanatoran · an+2 · an+3 = 2005, ∀n ≥ 1an+3=2005/(an · an+2)din considerente de numere intregiptr. (an · an+2)=2005 exista 16 variante (2005 are doar descompunerile = +/-1*2005 sau +/- 401*5a.1  an=1 si an+2=2005a.2  an= -1 si an+2=2005a.3  an= -1 si an+2= -2005a.4  an= -1 si an+2=-2005a.5  an=2005 si an+2=1a.6  an=-2005 si an+2=1a.7  an=2005 si an+2=-1a.8  an=-2005 si an+2= -1a.9  an=5 si an+2=401a.10  an= -5 si an+2=401a.11  an= 5 si an+2= -401a.12  an=-5 si an+2= -401a.13  an=401 si an+2= 5a.14  an= -401 si an+2= 5a.15  an=401 si an+2= -5a.16  an= -401 si an+2=  -5 Dezvoltam pe a.1    ptr. n=1  a1=1, a3=2005a4=2005/1*2005=1a5=2005/a4*a2=2005/1*a2=2005/a2 iar din considerente de nr intregiapar din nou 8 subvariante ptr. a2:    a2=+/-1,  a2=+/-5,   a2=+/-401  si  a2=+/-2005dezvoltam a.1.1 ptr n=1a1=1, a2=1, a3=2005, a4=1calculam a5=2005/1=2005                 a6=2005/a5*a3=2005/2005*2005 care nu mai este intreg!!!              Bineinteles asa se arata ca nici o varianta nu merge, deci nu putem construi astfel de siruri.