Question

Va rog ma puteti ajuta si pe mine la acest exercitiu:
1 •2+2•3+...+n (n+1)=n•(n+1)(n+2) supra 3

Answer 1

e) Propozitia P(1) este justa 1 · 2 = 1 · 2 · 3 3 , 2=2. Se presupune ca egalitatea 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) supra 3 
este adevarata si se arata ca ea implica egalitatea 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)supra 3 . In adevar 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)supra 3 + (n + 1)(n + 2) = = (n + 1)(n + 2) ( n supra 3 + 1) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) supra 3 

SPER CA TE-AM AJUTAT!

Answer 2

1·2+2·3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 /·3 ⇔
1·2·3+2·3·3+...+3·n(n+1)=n(n+1)(n+2) ⇔
3(1·2+2·3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)
Produsul a trei numere naturale consecutive este multiplu de 6(de 2 si respectiv de 3) deoarece contine cel putin un numar par si cel putin un numar multiplu de 3 ,conform principiului cutiei.
Asadar 6 divide pe n(n+1)(n+2) pentru orice n∈N ⇒
6/3(1·2+2·3+...+n(n+1)
3/3⇒3/3(1·2+2·3+...+n(n+1) ⇒2/1·2+2·3+...+n(n+1);
Deoarece 2/1·2+2·3+...+n(n+1) iar fiecare produs al sumei contine cel putin un numar par atunci 2/n(n+1) ⇔2/n sau 2/n+1.
Egalitatea data are loc pentru n≥4 ⇒n=4.
Verificam 3(1·2+2·3+3·4+4·5)=4·5·6 ⇔3(2+6+12+20)=120 ⇔3·40=120=120⇒adevarat;⇒1·2+2·3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2) pentru n=4.