Question

Va rog mult ajutati-ma la acest exercitiu! Se considera dezvoltarea (x^2+radical(x^2+1))^75 unde x apartine lui R. Sa se determine x stiind ca termenii din mijloc ai dezvoltarii sunt egali. Multumesc!

Answer 1

$T_{38}=T_{39}\Rightarrow C_{75}^{37}(x^2)^{38}(\sqrt{x^2+1})^{37}=C_{75}^{38}(x^2)^{37}(\sqrt{x^2+1})^{38}$

Tinem cont de formula combinarilor complementare, din care obtinem

$C_{75}^{37}=C_{75}^{75-37}=C_{75}^{38}$

si simplificam ecuatia cu $C_{75}^{37}x^{74}(\sqrt{x^2+1})^{37}$  si obtinem:

$x^2=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow x^4=x^2+1$

Notam $x^2=y\Rightarrow y^2-y-1=0\Rightarrow y_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$  din care luam doar solutia pozitiva si avem

$x^2=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$