Question

Va rog mult, ofer multe puncte!
Dintr-un punct sunt duse la un cerc doua tangente. Lungimea fiecarei tangente este egala cu 12 cm, iar distanta dintre punctele de tangenta este egala cu 14,4 cm. Sa se afle lungimea cercului.

Answer 1

Fie A punctul exterior cercului, O - centrul cercului, B, C punctele de tangență

ale tangentelor duse din A.

Fie AO ∩ BC = {F}.

Patrulaterul ABOC este inscriptibil, deoarece razele OB și OC sunt

perpendiculare pe tangentele AB, respectiv AC.

Fie k = cos(BAC) = (12²+12²-14,4²)/2·12·12.

-k = cos(BOC) = (r²+r²-14.4²)/2·r·r

Din ultima relație se determină raza cercului, apoi se poate calcula lungimea cercului, cu formula :

L = 2·π·r

Answer 2

Cum observăm în figură se formează două triunghiuri isoscele cu baza comună: triunghiul MNP și triunghiul ONP. Triunghiurile fiind isoscele și cu bază comună => MA se suprapune cu segmentul MO, de fapt MA și OA, compun segmentul MO. MA și OA sunt perpendiculare din vârf pe baza triunghiurilor isoscele, deci sunt și bisectoare și  mediane și mediatoare => NA≡PA = 7,2 cm.
∡M este împărțit în două unghiuri congruente. ∡M1≡∡M2

Prin trasarea lui MO triunghiul MNP și patrulaterul MNOP au fost împărțite în câte două perechi de triunghiuri dreptunghice:

ΔMNA și ΔMPA

ΔMNO și ΔMPO

Pentru rezolvare vom folosi relațiile trigonometrice din triunghiurile MNA și MNO

În ΔMNA tg∡NMA=$\frac{xNA}{MA}$ (1)

În ΔMNO tg∡NMO=$\frac{ON}{NM}$ (2)

∡NMA este identic cu ∡NMO (3)

ON este raza în cerc (4)

Din relațiile 1, 2, 3, 4 ⇒ $\frac{xNA}{MA}$=$\frac{raza}{NM}$ ⇒raza=$\frac{NA*NM}{MA}$⇒raza=$\frac{7,2*12}{MA}$
Deci trebuie să-l aflăm pe MA
sin∡NMA=$\frac{NA}{NM} = \frac{7,2}{12} = 0,6$  (5)
cos∡NMA=$\frac{MA}{MN} = \frac{MA}{12}$  (6)
$sin^{2}$∡NMA + $cos^{2}$∡NMA=1   (7)
Din relațiile 5, 6, 7 ⇒ $\frac{MA^{2} }{144} = \frac{2304}{3600}$ ⇒$MA^{2} = \frac{2304}{25} =92,16$
MA=$\sqrt{92,16} =9,6$

raza=$\frac{7,2*12}{MA}$ ⇒ raza=$\frac{86,4}{9,6}$ ⇒ raza= 9 cm

Lungimea cercului este egală cu 2*$\pi$*r ⇒
Lungimea cercului=2*$\pi$*9= 18$\pi$