Question

va rog mult
- problema tip evaluare nationala ( geometrie - subiectul al III-lea )

Answer 1

proprietati valabile intr-un triunghi dreptunghic:
1) teorema ∡15°: intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, inaltimea din varful drept este 1/4 din ipotenuza.
2) teorema ∡30°: cateta opusa unghiului de 30° este jumatate din ipotenuza.
3) mediana din varful drept este egala cu jumatate din ipotenuza

a) 
∡C=15°, ∡B=90-∡C=75°, ∡BAD=90-75=15°
∡y=45-15=30° ⇒ ∡AEB=90-∡y
∡AEB=60°
b)
T∡15° ⇒ BC=4AD=24 cm
AF mediana ⇒ AF=BC/2=12 cm
c)
AF=FC ⇒ tr. AFC este isoscel ⇒ ∡C=∡CAF=15°
∡z=45-15=30°=∡y
∡AFE=∡C+∡CAF (unghi exterior)
∡AFE=30°=∡z ⇒ tr. AEF este isoscel ⇒ AE=EF
ducem EM⊥AF, EM este si mediana
AF=12, ∡AFE=30° ⇒ T∡30° ⇒ EF=2EM
in tr. dreptunghic EMF
EF^2=EM^2+MF^2,  cu EF=2EM si MF=AF/2=6 cm obtinem:
4EM^2=EM^2+MF^2
3EM^2=36
EM=2√3 cm
aria AEF=AF x EM/2=12 x 2√3/2=12√3 cm2

Answer 2

a)

În triunghiul dreptunghic ABC, avem m(∡B) = 75° (complementul lui 15°).

[AE - bisectoare ⇒ m(∡BAE) = 45°.

În triunghiul ABE ⇒ m(∡AEB) = 180° -(75°+45°) =180°-120° = 60°

b)

AF -mediană ⇒ AF = BC/2 ⇒ AF = FC ⇒ ΔAFC -isoscel ⇒

⇒ m(∡CAF) = m(∡FCA) =15°

∡BFA - unghi exterior triunghiului AFC ⇒ m(∡BFA) = 15°+15° = 30°

Aplicăm T∡30° în ΔDFA și ⇒ AF = 2·AD = 2·6 = 12 cm.

c)

În triunghiul AEF avem: m(∡AEF) = 120° (suplementul unghiului AEB) și

m(∡EFA) = 30° ⇒ m(∡FAE) = 180° -(120°+30°) = 30°.

Prin urmare, în triunghiul AEF unghiurile din A și F au măsurile egale ⇒

ΔAEF -isoscel cu  AE = EF.

Cu T.Pitagora în ΔADF ⇒ DF = 6√3cm

În ΔADE ⇒ tg(AED) =AD/DE ⇒tg60° = 6/DE ⇒ √3 = 6/DE ⇒

⇒ DE = 6/√3 ⇒ DE = 6√3/3 ⇒ DD = 2√3 cm

EF = DF - DE = 6√3 -2√3 =4√3cm.

Aria(AEF) = (1/2)·EF ·AF·sin F = (1/2)·4√3·12·sin30° = (1/2)·4√3·12·(1/2) ⇒

⇒Aria(AEF) = 12√3 cm²