Question

VA ROG REPEDEEEE PROBLEMA 13 OFERRR 99 DE PCT

Answer 1

la punctula0se tine cont ca un s romb cu un unghide 60 grade are diagonal mica congruenta cu latura

Answer 2

a) Desenăm rombul PACE  cu m(Â) = 60° și ducem diagonala PC.

Triunghiul ACP este isoscel, AC = AP = l (latura rombului).

Știm că un triunghi isoscel cu un unghi de 60° este echilateral, deci triunghiul ACP - echilateral ⇒ AC = CP = PA = l

Ducem mediana AO, cu O pe CP ⇒ OP = CP/2 = l/2.

Mediana AO este  și înălțime în triunghiul ACP și aplicând teorema lui

Pitagora în acest triunghi obținem: 

AO ² = AP² - OP² = l² - (l/2)² =l² - l²/4 = 3l²/4 ⇒ AO = l√3/2

Prelungind AO până la punctul E se obține diagonala AE a rombului.

Acum ducem SP⊥ (PACE)   (1) 

PO ⊥ AE    (2)

PO, AE ⊂ (PACE)    (3) 

Din relațiile (1), (2), (3) rezultă, cu teorema celor trei perpendiculare, că 

SO ⊥ AE ⇒ d(S, AE) = SO

Triunghiul SPO este dreptunghic în P și avem: SO = a√2,  SP = a.

Cu teorema lui Pitagora se determină OP = a.

Dar, am văzut mai sus că OP = l/2.

Așadar, l/2 = a ⇒ l = 2a .

Acum laturile triunghiului AOP devin :

AP = 2a,  OP = a,  AO = a√3 .

b) Avem SP ⊥ (PACE)   (1)

Ducem PQ ⊥ CE      (2)

PQ, CE ⊂ (PACE)     (3) 

Din relațiile (1), (2), (3), cu teorema celor trei perpendiculare, ⇒ SQ ⊥ CE ⇒

⇒ d(S, CE)  = SQ

PQ este înălțime în triunghiul echilateral EPC, deci PQ = AO = a√3.

Comparând ΔPAO cu Δ SQP, observăm că ele sunt congruente (C.C.)

Așadar, SQ = PA = 2a ⇒ d(S, CE) = SQ = 2a